Câu 33 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải các phương trình sau :

a.  $2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4$

b.  $3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0$

c.  ${\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}$

LG a

$2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4$

Lời giải chi tiết:

Thay $\cos x = 0$$\Rightarrow {\sin ^2}x = 1$ vào phương trình ta được:

$2.1 + 2\sqrt 3 .0 - 0 = 4$ (vô lí)

Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được :

$2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3\sqrt 3 .\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1 = \frac{4}{{{{\cos }^2}x}}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 3\sqrt 3 \tan x - 1 = 4\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\sqrt 3 \tan x + 5 = 0 \cr}$

Phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

$3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 4.2\sin x\cos x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 8\sin x\cos x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0 \end{array}$

Thay $\cos x = 0$$\Rightarrow {\sin ^2}x = 1$ vào phương trình ta được:

$3.1 + 8.0 + 0 = 0$ (vô lí)

Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được :

$3\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 8\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \left( {8\sqrt 3  - 9} \right) = 0$

$\eqalign{&  \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 8\tan x + 8\sqrt 3 - 9 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - \sqrt 3 } \cr {\tan x = - {8 \over 3} + \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = -{\pi \over 3} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\,k \in\mathbb Z \cr & \text{ trong đó}\,\tan \alpha = - {8 \over 3} + \sqrt 3 \cr}$

LG c

${\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}$

Lời giải chi tiết:

$PT \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x =  {1 \over 2}$

Thay $\cos x = 0$$\Rightarrow {\sin ^2}x = 1$ vào phương trình ta được:

$1 + 2.0 - 0 = \frac{1}{2}$ (vô lí)

Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được :

$\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 2 = \frac{1}{{2{{\cos }^2}x}}$

$\eqalign{& \Leftrightarrow  {\tan ^2}x + 2\tan x - 2 = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = - 5} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\,\,k \in \mathbb Z \cr & \text{ trong đó}\,\tan \alpha = - 5 \cr}$