Câu 33 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho cấp số nhân (u _n ) với công bội $q ≠ 0$ và ${u_1} \ne 0$. Cho các số nguyên dương m và k, với $m ≥ k$. Chứng minh rằng ${u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}$

a) Áp dụng:

Tìm công bội q của cấp số nhân (u _n ) có ${u_4} = 2$ và ${u_7} =  - 686$.

b) Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u _n ) mà ${u_2} = 5$ và ${u_{22}} =  - 2000$ ?

LG a

- Chứng minh rằng ${u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}$

- Tìm công bội q của cấp số nhân (u _n ) có ${u_4} = 2$ và ${u_7} =  - 686$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của CSN:  $${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {u_m} = {u_1}.{q^{m - 1}}\,\,\left( 1 \right) \cr & {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr}$

Lấy (1) chia (2) ta được :

${{{u_m}} \over {{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}$

Áp dụng :

Ta có:

${u_7} = {u_4}{q^{7 - 4}} \Rightarrow  - 686 = 2.{q^3}$$\Leftrightarrow {q^3} =  - 343 \Leftrightarrow q =  - 7$

LG b

Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u _n ) mà ${u_2} = 5$ và ${u_{22}} =  - 2000$ ?

Lời giải chi tiết:

Không tồn tại. Thật vậy,

Giả sử ta có

$\begin{array}{l} {u_{22}} = {u_2}{q^{22 - 2}}\\ \Rightarrow - 2000 = 5.{q^{20}}\\ \Leftrightarrow {q^{20}} = - 400 < 0 \end{array}$

(vô lí)

Vậy không tồn tại CSN như trên.