Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản


Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

Giải các phương trình sau :

LG a

\(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1 : (chia hai vế cho \({\cos ^2}x\)).

Ta có:

\(\begin{array}{l} 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0 \end{array}\)

Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào phương trình ra được:

\(3.1 - 2.0 - 0 = 0\) (vô lí)

Do đó \(\cos x\ne 0\), chia cả hai vế cho \(\cos ^2x\ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l} Pt \Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2.\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = - \frac{1}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là : \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi\).

Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)

\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - 3\cos 2x - 2\sin 2x - 1 - \cos 2x = 0\cr& \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \text{Chọn }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\cr&\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}\cr&\text{ Ta có }: \cr & \sin \alpha \sin 2x + \cos \alpha \cos 2x = \sin \alpha  \cr&\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k2\pi \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

LG b

\(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\cos 2x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}2x = 1\) thay vào pt ta được:

\(3.1 - 0 - 4.0 = 2\) (vô lí)

Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}2x \ne 0\) ta được:

\(3.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - \frac{{\sin 2x\cos 2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\cr&\text{trong đó }\tan 2\alpha = - 2\,\text{và}\,\tan 2\beta = 3 \cr} \)

LG c

\(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào pt ta được:

\(2.1 + \left( {3 + \sqrt 3 } \right).0 + \left( {\sqrt 3  - 1} \right).0 =  - 1\) (vô lí)

Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {\sqrt 3  - 1} \right).\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\eqalign{&\Leftrightarrow  2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)


Cùng chủ đề:

Câu 40 trang 74 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 40 trang 85 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 40 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 40 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 40 trang 216 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 41 trang 74 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 41 trang 85 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 41 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 41 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 41 trang 216 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao