Câu 40 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho cấp số cộng (u _n ) với công sai khác 0. Biết rằng các số u ₁ u ₂ , u ₂ u ₃ và u ₃ u ₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Lời giải chi tiết

Vì cấp số cộng (u _n ) có công sai khác 0 nên các số u ₁ , u ₂ , u ₃ đôi một khác nhau $\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}.{u_2} \ne {\rm{ }}0$ và $q\ne1$.

Vì u ₁ u ₂ , u ₂ u ₃ và u ₃ u ₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {u_2}{u_3} = q.{u_1}{u_2}\\ {u_3}{u_1} = {q^2}.{u_1}{u_2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_3} = q{u_1}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {u_3} = {q^2}{u_2}\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Lấy (2) chia (1) ta được:$1 = \frac{{q{u_2}}}{{{u_1}}} \Leftrightarrow {u_1} = q{u_2}$

Vì ${u_1},{u_2},{u_3}$ là một cấp số cộng nên ${u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}$

$\Rightarrow q{u_2} + {q^2}{u_2} = 2{u_2}$

$\Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2}$

$\Leftrightarrow q + {q^2} = 2$

$\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 1\left( {\text{loại vì }q \ne 1} \right)\\ q = - 2 \end{array} \right.$