Câu 40 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến ${1 \over {10}}$ giây)

LG a

$2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2,0^\circ \le x \le 360^\circ$

Lời giải chi tiết:

$2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 3\cos x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}x - 3\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 3\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\cos x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ 2\cos x + 3 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = - \frac{3}{2}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = {90^0} + k{180^0},k \in Z\\ {0^0} \le x \le {360^0}\\ \Leftrightarrow {0^0} \le {90^0} + k{180^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow - {90^0} \le k{180^0} \le {270^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2} \end{array}$

Mà $k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$

+) Với k=0 thì $x = {90^0}$

+) Với k=1 thì $x = {270^0}$

Vậy với điều kiện $0^0≤ x ≤ 360^0$, phương trình có hai nghiệm là $x = 90^0$ và $x = 270^0$.

LG b

$\tan x + 2\cot x = 3,180^\circ \le x \le 360^\circ$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : $\sin x ≠ 0$ và $\cos x ≠ 0$.

Ta có :

$\begin{array}{l} \tan x + 2\cot x = 3\\ \Leftrightarrow \tan x + \frac{2}{{\tan x}} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}x + 2 - 3\tan x}}{{\tan x}} = 0\\ \Rightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = 2 \end{array} \right. \end{array}$

+) $\tan x = 1 ⇔ x = 45^0 + k180^0$.

$\begin{array}{l} {180^0} \le x \le {360^0}\\ \Rightarrow {180^0} \le {45^0} + k{180^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow {135^0} \le k{180^0} \le {315^0}\\ \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le k \le \frac{7}{4} \Rightarrow k = 1 \end{array}$

Có một nghiệm thỏa mãn $180^0\le {\rm{ }}x{\rm{ }} \le {\rm{ }}360^0$, ứng với $k = 1$ là $x = 225^0$

+) $\tan x = 2 ⇔ x = α + k180^0$ với $\tan α = 2$.

Ta có thể chọn $\alpha  \approx {63^0}26'$

$\begin{array}{l} {180^0} \le x \le {360^0}\\ \Rightarrow {180^0} \le {63^0}26' + k{180^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow {116^0}34' \le k{180^0} \le {296^0}34'\\ \Leftrightarrow 0,64 < k < 1,65 \Rightarrow k = 1 \end{array}$

Vậy có một nghiệm (gần đúng) thỏa mãn $180^0\le {\rm{ }}x{\rm{ }} \le {\rm{ }}360^0$ là :

$x = \alpha  + {180^0} \approx {243^0}26'$

Kết luận :

Với điều kiện $180^0\le {\rm{ }}x{\rm{ }} \le {\rm{ }}360^0$, phương trình có hai nghiệm $x = 225^0$ và $x \approx {243^0}26'$.