Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 - Chương 2 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) ($B ∈ (O), C ∈ (O’)$).

a. Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO’ và đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng BC.

b. Tính BC theo R và R’

c. Đường tròn (H; r) tiếp xúc với cả hai đường tròn (O), (O’) và tiếp xúc với BC tại M. Tính bán kính r theo R và R’.

LG ý a

Phương pháp giải:

Sử dụng:

-Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

-Đường trung bình của hình thang

- Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính là tiếp tuyến của đường tròn đó

Lời giải chi tiết:

a. Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến chung BC, ta có $IA = IB = IC$ (tính chất tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: O, A, O’ thẳng hàng nên $IA ⊥ OO’$

Chứng tỏ đường tròn tâm I đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO’.

Gọi K là trung điểm của OO’ $⇒$ IK là đường trung bình của hình thang BOO’C $⇒$ IK // OB // O’C hay $IK ⊥ BC.$

Mặt khác : $IK = {{OB + O'C} \over 2} = {{R + R'} \over 2} = {{OO'} \over 2}$$\Rightarrow IK = OK = O'K$

Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm K đường kính OO'

Do đó đường tròn tâm K đường kính OO’, tiếp xúc với BC tại I.

LG ý b

Phương pháp giải:

Sử dụng:

-Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành 1 góc vuông

-Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

b. Ta có: OI, O’I theo thứ tự là phân giác của các góc BIA và CIA nên $OI ⊥ O’I$ hay ∆OIO’ vuông tại I có đường cao IA.

$I{A^2} = OA.O'A = R.R'$ (định lí 2) hay $IA = \sqrt {R.R'}  \Rightarrow BC = 2\sqrt {R.R'}$

LG ý c

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của ý b

Lời giải chi tiết:

c. Ta có: BM là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (H) nên:

$BM = 2\sqrt {R.r}$ (chứng minh như câu b)

Tương tự ta có : $CM = 2\sqrt {R'.r} ,$ mà $BC = BM + MC$

$\eqalign{  &  \Rightarrow 2\sqrt {R.R'}  = 2\sqrt {R.r}  + 2\sqrt {R'.r} \cr& \Rightarrow \sqrt {R.R'}  = \sqrt r \left( {\sqrt R  + \sqrt {R'} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \sqrt r  = {{\sqrt {R.R'} } \over {\sqrt R  + \sqrt {R'} }} \cr&\Rightarrow r = {{R.R'} \over {R + R' + 2\sqrt {R.R'} }} \cr}$