Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 3 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn tại D.

a) Chứng tỏ $OD \bot BC.$

b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. Tính góc BIC.

Bài 2: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại D và cắt (O) tại E. Từ E vẽ EF vuông góc với BC ( F thuộc BC) và EH vuông góc với AC ( H thuộc AC).

a) Chứng minh : $\widehat {DEF} = \widehat {FEH}.$

b) Chứng minh : $EF^2 = ED.EH.$

c) Gọi N là giao điểm của DF và EB, M là giao điểm của FH và EC. Chứng tỏ rằng tứ giác MENF nội tiếp.

d) Cho $\widehat {BAC} = 30^\circ$. Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OB và OC.

LG bài 1

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+Đường kính đi qua điểm chính giữa của dây cung thì vuông góc với dây căng cung ấy

+Tổng ba góc của 1 tam giác bằng 180 độ

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (gt) $\Rightarrow \overparen{ DB} = \overparen{ DC}$

$\Rightarrow  OD \bot BC$ ( đường kính đi qua điểm chính giữa của dây cung).

b) Ta có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  - \widehat A$$\, = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ$ ($\widehat A = 90^\circ$ vì BC là đường kính).

$\Rightarrow \dfrac{{\widehat B} }{ 2} + \dfrac{{\widehat C} }{ 2} = 45^\circ$ hay $\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 45^\circ$

Trong ∆BIC có :

$\widehat {BIC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)$$\, = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ$.

LG bài 2

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

+Tính chất tứ giác nội tiếp

+Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau

+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung

+Tổng ba góc của 1 tam giác bằng 180 độ

+Công thức

${l} =\dfrac{{\pi R.n} }{ {180}}$

${S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}.n} }{ {360}}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có tứ giác BDEF nội tiếp ( vì $\widehat {BDE} + \widehat {{\rm{BF}}E} = 180^\circ$)

$\Rightarrow \widehat {BDF} + \widehat {{\rm{DEF}}} = 180^\circ$

Tương tự tứ giác CHEF nội tiếp $\Rightarrow \widehat {HCF} + \widehat {FEH} = 180^\circ$

Mà $\widehat {DBF} = \widehat {HCF}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó $\widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {FEH}$           (1)

b) Ta có $\widehat {EDF} = \widehat {EBF}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

$\widehat {EBF} = \widehat {ECH}$ (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung EC)

$\widehat {ECH} = \widehat {EFH}$ ( góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Do đó $\widehat {EDF} = \widehat {EFH}$           (2)

Từ (1) và (2), ta có :

∆EFD và ∆EHF đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{EF} }{ {EH}} = \dfrac{{ED}}{{EH}} \Rightarrow E{H^2} = ED.EH$.

c) Ta có $\widehat {EFM} = \widehat {EBC}$ (cmt),

$\widehat {NFE} = \widehat {BCE}$ (cmt)

mà $\widehat {NEM} + \widehat {BCE} + \widehat {EBC} = 180^\circ$ ( tổng ba góc của tam giác)

$\Rightarrow \widehat {NEM} + \widehat {NEF} + \widehat {EFM} = 180^\circ$ hay $\widehat {NEM} + \widehat {NFM} = 180^\circ$

Do đó tứ giác MENF nội tiếp.

d) Dễ thấy tứ giác ABOC nội tiếp ($\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ$)

$\Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOC} = 180^\circ$ mà $\widehat {BAC} = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 150^\circ$

Vậy ${l_{\overparen{BC}}} =\dfrac{{\pi R.150} }{ {180}} = \dfrac{{5\pi R}}{ 5}$ và ${S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}.150} }{ {360}} = \dfrac{{5\pi {R^2}}}{ {12}}.$