Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 4 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD sao cho CD //AB và $CD = R\sqrt 3$.

a)   Tính diện tích hình thang ABDC.

b)  Tính thể tích của hình được sinh ra khi quay hình thang ABDC quanh AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có : $CD = R\sqrt 3 \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {COD} = 120^\circ$

∆COD cân tại O $\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}} = 30^\circ$

CD // AB (gt) $\Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{C_1}} = 30^\circ$ (so le trong)

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, ta có ∆CHO vuông, có $\widehat {{O_1}} = 30^\circ$ nên $CH = CO.\sin 30^\circ  = {R \over 2}$

Vậy ${S_{ABDC}} = {{\left( {AB + CD} \right).CH} \over 2} = {{\left( {2R + R\sqrt 3 } \right).{R \over 2}} \over 2}$$\;= {{{R^2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \over 4}$.

b) Khi quay hình thang ABDC quanh cạnh đáy AB ta được hình sinh ra gồm một hình trụ có bán kính đáy là $CH = {R \over 2}$, chiều cao $CD = R\sqrt 3$ và hai hình nón bằng nhau có bán kính đáy là $CH = {R \over 2}$ và chiều cao AH.

Trong tam giác vuông CHO, ta có :

$HO = \sqrt {C{O^2} - C{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}$$\;= {{R\sqrt 3 } \over 2}$

$\Rightarrow AH = AO - HO = R - {{R\sqrt 3 } \over 2}$$\;= {{R\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2}$

Vậy ta gọi V _n là thể tích hình nón.

${V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h = {1 \over 3}\pi .C{H^2}.AH$$\; = {1 \over 3}\pi {\left( {{R \over 2}} \right)^2}.{{R\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over 2} = {{\pi {R^3}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over {24}}$

Do đó hai hình tròn bằng nhau có thể tích là : $2{V_n} = {{\pi {R^3}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over {12}}$

Và gọi V _t là thể tích hình trụ :

${V_t} = \pi {R^2}h = \pi .C{H^2}.CD$$\;= \pi {\left( {{R \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 3  = {{\pi {R^3}\sqrt 3 } \over 4}$

Vậy thể tích của hình sinh ra là :

$V = {V_t} + 2{V_n} = {{\pi {R^3}\sqrt 3 } \over 4} + {{\pi {R^3}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \over {12}}$

$\;\;\;\; = {{3\pi {R^3}\sqrt 3  + 2\pi {R^3} - \pi {R^3}\sqrt 3 } \over {12}} = {{2\pi {R^3}\sqrt 3  + 2\pi {R^3}} \over {12}}$

$\;\;\;\;= {{\pi {R^3}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)} \over 6}$.