Đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 - Đề số 2
Đề bài
Cho hai đường tròn (O;4cm) và (O′;3cm) biết OO′=5cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B. Độ dài AB là:
-
A.
2,4cm
-
B.
4,8cm
-
C.
512cm
-
D.
5cm
Cho đường thẳng d:y=−kx+b(k≠0). Hệ số góc của đường thẳng d là
-
A.
−k
-
B.
k
-
C.
1k
-
D.
b
Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì
-
A.
sin góc nọ bằng cosin góc kia
-
B.
sin hai góc bằng nhau
-
C.
tan góc nọ bằng cotan góc kia
-
D.
Cả A, C đều đúng.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
3√a>3√b⇔a>b
-
B.
3√a>3√b⇔a<b
-
C.
3√a≥3√b⇔a=b
-
D.
3√a<3√b⇔a>b
Cho hàm số f(x)=x3+x. Tính f(2)
-
A.
4
-
B.
6
-
C.
8
-
D.
10
Điểm (−2;3) thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
-
A.
3x−2y=3
-
B.
3x−y=0
-
C.
0x+y=3
-
D.
0x−3y=9
Cho hai đường tròn (O;6cm) và (O′;2cm) cắt nhau tại A,B sao cho OA là tiếp tuyến của (O′). Độ dài dây AB là
-
A.
AB=3√10cm
-
B.
AB=6√105cm
-
C.
AB=3√105cm
-
D.
AB=√105cm
Cho hai hàm số f(x)=−2x3 và h(x)=10−3x . So sánh f(−2) và h(−1)
-
A.
f(−2)<h(−1)
-
B.
f(−2)≤h(−1)
-
C.
f(−2)=h(−1)
-
D.
f(−2)>h(−1)
Rút gọn biểu thức A=3√8−√18+5√12+√50 ta được kết quả là
-
A.
212√2
-
B.
21√2
-
C.
112√2
-
D.
11√2
Cho đường tròn (O;R) và điểm M bất kỳ, biết rằng OM=R. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
Điểm M nằm ngoài đường tròn
-
B.
Điểm M nằm trên đường tròn
-
C.
Điểm M nằm trong đường tròn
-
D.
Điểm M không thuộc đường tròn.
Đưa thừa số 5y√y (y≥0) vào trong dấu căn ta được
-
A.
√5y2
-
B.
√25y3
-
C.
√5y3
-
D.
√25y√y
Cho (O;4cm). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;4cm), khi đó
-
A.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 4cm
-
B.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4cm
-
C.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 4cm
-
D.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5cm
Tìm m để đường thẳng (d):y=x+3;(d′):y=−x+1;(d″ đồng quy.
-
A.
m = 4 + \sqrt 3
-
B.
m = - 4 - \sqrt 3
-
C.
m = 4 - \sqrt 3
-
D.
m = 2 + \sqrt 3
Giải tam giác vuông ABC, biết \widehat A = 90^\circ \; và BC = 50cm;\widehat B = {48^o} (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
-
A.
AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,4\,cm;\,\widehat C = 32^\circ
-
B.
AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 45^\circ
-
C.
AB = 37,2\,cm;\,AC = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ
-
D.
AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ
Cho biểu thức C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}
với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.
Tìm x để C < 1
-
A.
0 \le x < 9
-
B.
0 \le x < 9;x \ne 4
-
C.
4 < x < 9
-
D.
0 < x < 4
Rút gọn biểu thức C ta được
-
A.
C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}
-
B.
C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}
-
C.
C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}
-
D.
C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}
Cho biểu thức P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)
Rút gọn P.
-
A.
P = \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}
-
B.
P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}
-
C.
P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x - 3}}
-
D.
P = \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}
Tính giá trị của P biết x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}
-
A.
\dfrac{7}{{13}}
-
B.
\dfrac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}
-
C.
\dfrac{7}{{33}}
-
D.
\dfrac{{13}}{7}
Tìm x đểP < - \dfrac{1}{2}
-
A.
x > 3
-
B.
x \ge 0;x \ne 9
-
C.
0 \le x < 9
-
D.
x < 9
Có bao nhiêu giá trị x \in Z để P \in Z.
-
A.
0
-
B.
2
-
C.
1
-
D.
3
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \widehat {ABC} = 30^\circ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = R .
Chọn khẳng định đúng ?
-
A.
MC là tiếp tuyến của (O;R)
-
B.
MC là cát tuyến của (O;R)
-
C.
MC \bot BC
-
D.
MC \bot AC
Tính độ dài MC theo R.
-
A.
MC = \sqrt 2 R
-
B.
MC = \sqrt 3 R
-
C.
MC = 3R
-
D.
MC = 2R
Cho hai đường tròn \left( {{O_1}} \right) và \left( {{O_2}} \right) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với \left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right) lần lượt tại B,C.
Tam giác ABC là
-
A.
Tam giác cân
-
B.
Tam giác đều
-
C.
Tam giác vuông
-
D.
Tam giác vuông cân
Lấy M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai ?
-
A.
AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right)
-
B.
AM là đường trung bình của hình thang {O_1}BC{O_2}
-
C.
AM = MC
-
D.
AM = \dfrac{1}{2}BC
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD.
Chọn câu sai.
-
A.
Đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
-
B.
Đường tròn có đường kính CD cắt AB.
-
C.
IO\; \bot AB
-
D.
IO = \dfrac{{DC}}{2}
Hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất là
-
A.
AB
-
B.
2AB
-
C.
3AB
-
D.
4AB
Rút gọn biểu thức \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} với x > 0 ta được
-
A.
x
-
B.
-x
-
C.
\sqrt x
-
D.
\sqrt {x + 2}
Giải phương trình \sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2 ta được nghiệm là
-
A.
x = 1
-
B.
x = 3
-
C.
x = 2
-
D.
Phương trình vô nghiệm
Cho hai đường thẳng {d_1}:y = 2x - 2 và {d_2}:y = 3 - 4x. Tung độ giao điểm của {d_1};{d_2} có tọa độ là
-
A.
y = - \dfrac{1}{3}
-
B.
y = \dfrac{2}{3}
-
C.
y = 1
-
D.
y = - 1
Cho hai đường thẳng d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2} và d':y = - x + 1 .Với giá trị nào của m thì
d \equiv d'?
-
A.
m = - 2
-
B.
m = - 4
-
C.
m = 2
-
D.
Không có m thỏa mãn
Viết phương trình đường thẳng d biết d tạo với đường thẳng y = 2 (theo chiều dương) một góc bằng 135^\circ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
-
A.
y = x - 4
-
B.
y = - x - 4
-
C.
y = x + 4
-
D.
y = - x + 4
Đường thẳng y = a{\rm{x}} + b đi qua 2 điểm M\left( { - 3;2} \right) và N\left( {1; - 1} \right) là:
-
A.
y = - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}
-
B.
y = - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}
-
C.
y = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{4}
-
D.
y = - \dfrac{3}{4}x + 1
Tính \sin \alpha ,\,\,\tan \alpha biết \cos \alpha = \dfrac{3}{4}.
-
A.
\sin \alpha = \dfrac{4}{{\sqrt 7 }};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}
-
B.
\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \dfrac{3}{{\sqrt 7 }}
-
C.
\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}
-
D.
\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}
Cho tam giác ABC có \widehat B = {70^0},\widehat C = {35^0},AC = 4,5cm. Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A.
4
-
B.
5
-
C.
6
-
D.
8
Cho tam giác ABC vuông tại A , cóAB = 15cm;AC = 20cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
A.
R = 25
-
B.
R = \dfrac{{25}}{2}
-
C.
R = 15
-
D.
R = 20
Cho nửa đường tròn \left( O \right), đường kính AB và một dây CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F . So sánh độ dài CE và DF .
-
A.
CE > DF
-
B.
CE = 2DF
-
C.
CE < DF
-
D.
CE = DF
Cho đường tròn \left( {O;25cm} \right) và dây AB bằng 40cm. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây AB là
-
A.
15cm
-
B.
7cm
-
C.
20cm
-
D.
24cm
Tìm m để đường thẳng d:y = mx + 1 cắt đường thẳng d':y = 2x - 1 tại 1 điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ II và thứ IV.
-
A.
m = 1
-
B.
m = - 4
-
C.
m = - 1
-
D.
m = 2
Cho hình thang ABCD có \widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB. Tính diện tích của hình thang.
-
A.
350\sqrt 3 \,\,c{m^2}
-
B.
50\sqrt 3 \,\,c{m^2}
-
C.
250\sqrt 3 \,\,c{m^2}
-
D.
700\sqrt 3 \,\,c{m^2}
Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ OH \bot xy . Chọn câu đúng.
-
A.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H.
-
B.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm OH .
-
C.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và AB.
-
D.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và \left( {O;R} \right).
Lời giải và đáp án
Cho hai đường tròn \left( {O;4cm} \right) và \left( {O';3cm} \right) biết OO' = 5cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B. Độ dài AB là:
-
A.
2,4cm
-
B.
4,8cm
-
C.
\dfrac{5}{{12}}cm
-
D.
5cm
Đáp án : B
Dựa vào tính chất hai đường tròn cắt nhau.
Định lí Pi-ta-go đảo.

Xét tam giác OAO' có O{A^2} + O'{A^2} = OO{'^2} (vì {4^2} + {3^2} = {5^2}) nên tam giác OAO' vuông tại A.
Xét \Delta HAO \backsim \Delta AO'O (g.g) nên \frac{AH}{OA} = \frac{O'A}{OO'} suy ra AH.OO' = OA.O'A \Rightarrow AH = \dfrac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}
Mà AB = 2AH nên AB = \dfrac{{24}}{5} = 4,8cm
Cho đường thẳng d:y = - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right). Hệ số góc của đường thẳng d là
-
A.
- k
-
B.
k
-
C.
\dfrac{1}{k}
-
D.
b
Đáp án : A
Đường thẳng d có phương trình y = - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right) có - k là hệ số góc.
Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì
-
A.
sin góc nọ bằng cosin góc kia
-
B.
sin hai góc bằng nhau
-
C.
tan góc nọ bằng cotan góc kia
-
D.
Cả A, C đều đúng.
Đáp án : D
Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b
-
B.
\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a < b
-
C.
\sqrt[3]{a} \ge \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a = b
-
D.
\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b
Đáp án : A
Với mọi a,b ta có \sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b
Cho hàm số f\left( x \right) = {x^3} + x. Tính f\left( 2 \right)
-
A.
4
-
B.
6
-
C.
8
-
D.
10
Đáp án : D
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm
Để tính giá trị {y_0} của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0} ta thay x = {x_0} vào f\left( x \right), ta được {y_0} = f\left( {{x_0}} \right).
Thay x = 2 vào hàm số ta được f\left( 2 \right) = {2^3} + 2 = 10.
Điểm \left( { - 2;3} \right) thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
-
A.
3x - 2y = 3
-
B.
3x - y = 0
-
C.
0x + y = 3
-
D.
0x - 3y = 9
Đáp án : C
- Điểm ({x_0};{y_0}) thuộc ĐTHS y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}.
- Tính toán và chọn đáp án phù hợp.
Ta có 3( - 2) - 2.3 = - 12 \ne 3=> loại A
3( - 2) - 3 = - 9 \ne 0 => loại B
0( - 2) + 3 = 3
Cho hai đường tròn \left( {O;6\,cm} \right) và \left( {O';2\,cm} \right) cắt nhau tại A,B sao cho OA là tiếp tuyến của \left( {O'} \right). Độ dài dây AB là
-
A.
AB = 3\sqrt {10} \,cm
-
B.
AB = \dfrac{{6\sqrt {10} }}{5}\,cm
-
C.
AB = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}\,cm
-
D.
AB = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\,cm
Đáp án : B
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Vì OA là tiếp tuyến của \left( {O'} \right) nên \Delta OAO' vuông tại A.
Vì \left( O \right) và \left( {O'} \right) cắt nhau tại A,B nên đường nối tâm OO' là trung trực của đoạn AB.
Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB \bot OO' tại I là trung điểm của AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO' ta có
\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O'{A^2}}} = \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} \Rightarrow AI = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}\,cm \Rightarrow AB = \dfrac{{6\sqrt {10} }}{5}\,cm
Cho hai hàm số f\left( x \right) = - 2{x^3} và h\left( x \right) = 10 - 3x . So sánh f\left( { - 2} \right) và h\left( { - 1} \right)
-
A.
f\left( { - 2} \right) < h\left( { - 1} \right)
-
B.
f\left( { - 2} \right) \le h\left( { - 1} \right)
-
C.
f\left( { - 2} \right) = h\left( { - 1} \right)
-
D.
f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)
Đáp án : D
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm
Để tính giá trị {y_0} của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0} ta thay x = {x_0} vào f\left( x \right), ta được {y_0} = f\left( {{x_0}} \right).
So sánh các giá trị tìm được
Thay x = - 2 vào hàm số f\left( x \right) = - 2{x^3} ta được f\left( { - 2} \right) = - 2.{\left( { - 2} \right)^3} = 16 .
Thay x = - 1 vào hàm số h\left( x \right) = 10 - 3x ta được h\left( { - 1} \right) = 10 - 3\left( { - 1} \right) = 13
Nên f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right) .
Rút gọn biểu thức A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} ta được kết quả là
-
A.
\dfrac{{21}}{2}\sqrt 2
-
B.
21\sqrt 2
-
C.
\dfrac{{11}}{2}\sqrt 2
-
D.
11\sqrt 2
Đáp án : A
Sử dụng công thức khai phương một tích, khai phương một thương, trục căn thức ở mẫu
+ Khai phương một tích: \sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)
+ Khai phương một thương: \sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)
+ Với A.B \ge 0 và B \ne 0 thì \sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}
A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50}
= 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} + 5 \dfrac{\sqrt 2}{2} + \sqrt {25.2}
= 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \dfrac{5}{2}\sqrt 2 + 5\sqrt 2
= \left( {6 - 3 + \dfrac{5}{2} + 5} \right).\sqrt 2
= \dfrac{{21}}{2}\sqrt 2
Cho đường tròn \left( {O;R} \right) và điểm M bất kỳ, biết rằng OM = R. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
Điểm M nằm ngoài đường tròn
-
B.
Điểm M nằm trên đường tròn
-
C.
Điểm M nằm trong đường tròn
-
D.
Điểm M không thuộc đường tròn.
Đáp án : B
Cho điểm M và đường tròn \left( {O;R} \right) ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:
Vị trí tương đối |
Hệ thức |
M nằm trên đường tròn \left( O \right) |
OM = R |
M nằm trong đường tròn \left( O \right) |
OM < R |
M nằm ngoài đường tròn \left( O \right) |
OM > R |
Đưa thừa số 5y\sqrt y (y \ge 0) vào trong dấu căn ta được
-
A.
\sqrt {5{y^2}}
-
B.
\sqrt {25{y^3}}
-
C.
\sqrt {5{y^3}}
-
D.
\sqrt {25y\sqrt y }
Đáp án : B
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} với A \ge 0 và B \ge 0
+) A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} với A < 0 và B \ge 0
Ta có 5y\sqrt y = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} .
Cho \left( {O;4cm} \right). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \left( {O;4\,cm} \right), khi đó
-
A.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 4\,cm
-
B.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4\,cm
-
C.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 4\,cm
-
D.
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5\,cm
Đáp án : B
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó.
Tìm m để đường thẳng \left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2 đồng quy.
-
A.
m = 4 + \sqrt 3
-
B.
m = - 4 - \sqrt 3
-
C.
m = 4 - \sqrt 3
-
D.
m = 2 + \sqrt 3
Đáp án : B
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước d;d'
- Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng d''.
Điểm M\left( {{x_0};{y_0}} \right) thuộc đường thẳng \left( d \right):y = ax + b \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b
d:y = x + 3;d':y = - x + 1;d'':y = \sqrt 3 x - m - 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d': x + 3 = - x + 1 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2
Do đó d và d' cắt nhau tại điểm \left( { - 1;2} \right).
Điểm A( - 1;2) \in d'':y = \sqrt 3 x - m - 2 \Leftrightarrow 2 = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - m - 2 \Leftrightarrow m = - 4 - \sqrt 3
Vậy m = - 4 - \sqrt 3 .
Giải tam giác vuông ABC, biết \widehat A = 90^\circ \; và BC = 50cm;\widehat B = {48^o} (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
-
A.
AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,4\,cm;\,\widehat C = 32^\circ
-
B.
AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 45^\circ
-
C.
AB = 37,2\,cm;\,AC = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ
-
D.
AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ
Đáp án : D
Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông đó
Sử dụng các tỉ số lượng giác, định lý về góc trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Xét \Delta ABC có: \widehat A = {90^o} \widehat B + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B = {90^o} - {48^o} = {42^o} (\widehat C và \widehat B là hai góc phụ nhau) Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
AC = BC.\sin B = 50.\sin 48^\circ \approx 37,2cm
AB = BC.\cos B = 50.\cos 48^\circ \approx 33,5cm
Vậy AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ .
Cho biểu thức C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}
với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.
Tìm x để C < 1
-
A.
0 \le x < 9
-
B.
0 \le x < 9;x \ne 4
-
C.
4 < x < 9
-
D.
0 < x < 4
Đáp án: B
- Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình
-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Theo câu trước ta có C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9
Để C < 1
\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} < 1 \\ \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \\ \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}} < 0
Mà 4 > 0 nên \sqrt x - 3 < 0 hay \sqrt x < 3 \Rightarrow x < 9
Kết hợp điều kiện x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9 suy ra 0 \le x < 9;x \ne 4.
Rút gọn biểu thức C ta được
-
A.
C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}
-
B.
C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}
-
C.
C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}
-
D.
C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}
Đáp án: C
-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử
-Quy đồng mẫu thức các phân thức.
-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.
Ta có x - 5\sqrt x + 6 = x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) nên
C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}
= \dfrac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}
= \dfrac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}
Vậy C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9
Cho biểu thức P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)
Rút gọn P.
-
A.
P = \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}
-
B.
P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}
-
C.
P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x - 3}}
-
D.
P = \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}
Đáp án: B
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..
\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}
Vậy P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} với x \ge 0;x \ne 9.
Tính giá trị của P biết x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}
-
A.
\dfrac{7}{{13}}
-
B.
\dfrac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}
-
C.
\dfrac{7}{{33}}
-
D.
\dfrac{{13}}{7}
Đáp án: B
+ Sử dụng kết quả câu trước P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} với x \ge 0;x \ne 9.
+ Biến đổi x để tính \sqrt x .
+ Thay \sqrt x tìm được vào P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}
Ta có: x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}
\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}} = \dfrac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right|}}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \dfrac{{ - 3}}{{\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2} + 3}} = \dfrac{{ - 3.2}}{{\sqrt 5 - 1 + 6}} = \dfrac{{ - 6}}{{\sqrt 5 + 5}} = \dfrac{{ - 6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} - 5}} = \dfrac{{6\sqrt 5 - 30}}{{20}} = \dfrac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}.\end{array}
Tìm x đểP < - \dfrac{1}{2}
-
A.
x > 3
-
B.
x \ge 0;x \ne 9
-
C.
0 \le x < 9
-
D.
x < 9
Đáp án: C
+ Sử dụng kết quả câu trước P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} với x \ge 0;x \ne 9.
+ Giải bất phương trình P < - \dfrac{1}{2}
+ So sánh điều kiện để tìm x.
Ta có P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} với x \ge 0;x \ne 9. Suy ra
\begin{array}{l}P < - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} < - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 - \sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt x > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}
Kết hợp với ĐKXĐ ta được với 0 \le x < 9 thì P < - \dfrac{1}{2}.
Có bao nhiêu giá trị x \in Z để P \in Z.
-
A.
0
-
B.
2
-
C.
1
-
D.
3
Đáp án: C
+ Sử dụng kết quả câu trước P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} với x \ge 0;x \ne 9.
+ Xét với x không là số chính phương
+ Xét với x là số chính phương khi đó P \in Z \Rightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right)
Ta có P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} với x \ge 0;x \ne 9.
+ Với x không là số chính phương thì \sqrt x là số vô tỉ nên P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} là số vô tỉ (loại)
+ Với x là số chính phương
Ta có:
\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 1\\\sqrt x + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\end{array}
Vậy x = 0 thì P \in Z.
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \widehat {ABC} = 30^\circ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = R .
Chọn khẳng định đúng ?
-
A.
MC là tiếp tuyến của (O;R)
-
B.
MC là cát tuyến của (O;R)
-
C.
MC \bot BC
-
D.
MC \bot AC
Đáp án: A

Tam giác OBC cân tại O có \widehat {ABC} = 30^\circ suy ra \widehat {AOC} = 60^\circ (góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó).
Nên tam giác OCA là tam giác đều suy ra AC = AO = AM = R. \Rightarrow \widehat {OCM} = {90^ \circ } \Rightarrow MC là tiếp tuyến của (O;R).
Tính độ dài MC theo R.
-
A.
MC = \sqrt 2 R
-
B.
MC = \sqrt 3 R
-
C.
MC = 3R
-
D.
MC = 2R
Đáp án: B
Sử dụng định lý Pytago.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM, ta có O{M^2} = O{C^2} + M{C^2} \Rightarrow M{C^2} = O{M^2} - O{C^2} = 3{R^2} \Rightarrow MC = \sqrt 3 R.
Cho hai đường tròn \left( {{O_1}} \right) và \left( {{O_2}} \right) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với \left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right) lần lượt tại B,C.
Tam giác ABC là
-
A.
Tam giác cân
-
B.
Tam giác đều
-
C.
Tam giác vuông
-
D.
Tam giác vuông cân
Đáp án: C
Sử dụng phương pháp cộng góc

Xét \left( {{O_1}} \right) có {O_1}B = {O_1}A
\Rightarrow \Delta {O_1}AB cân tại {O_1}
\Rightarrow \widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}
Xét \left( {{O_2}} \right) có {O_2}C = {O_2}A
\Rightarrow \Delta {O_2}CA cân tại {O_2}
\Rightarrow \widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}
Mà \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat C - \widehat B = 180^\circ
\Leftrightarrow 180^\circ - \widehat {{O_1}BA} - \widehat {{O_1}AB} + 180^\circ - \widehat {{O_2}CA} - \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ
\Leftrightarrow 2\left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ
\Rightarrow \widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC} = 90^\circ
\Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ
\Rightarrow \Delta ABC vuông tại A.
Lấy M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai ?
-
A.
AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right)
-
B.
AM là đường trung bình của hình thang {O_1}BC{O_2}
-
C.
AM = MC
-
D.
AM = \dfrac{1}{2}BC
Đáp án: B
Sử dụng cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Vì \Delta ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên AM = BM = DM = \dfrac{{BC}}{2}
Xét tam giác BMA cân tại M \Rightarrow \widehat {MBA} = \widehat {MAB}, mà \widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB} (cmt) nên \widehat {{O_1}BA} + \widehat {MBA} = \widehat {{O_1}AB} + \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {{O_1}AM} = \widehat {{O_1}BM} = 90^\circ \Rightarrow MA \bot A{O_1} tại A nên AM là tiếp tuyến của \left( {{O_1}} \right)
Tương tự ta cũng có \Rightarrow MA \bot A{O_2} tại A nên AM là tiếp tuyến của \left( {{O_2}} \right)
Hay AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Vậy phương án A, C, D đúng. B sai.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD.
Chọn câu sai.
-
A.
Đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
-
B.
Đường tròn có đường kính CD cắt AB.
-
C.
IO\; \bot AB
-
D.
IO = \dfrac{{DC}}{2}
Đáp án: B
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất đường trung bình của hình thang
Sử dụng vị trí tương đối của hai đường tròn

Vì I là trung điểm của CD.
Nên I là tâm của đường tròn đường kính CD.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM\; và BD = DM
Xét tứ giác ABDC có: AC//BD \Rightarrow ABDC là hình thang
Suy ra IO là đường trung bình của hình thang ABDC
\Rightarrow IO//AC//BD mà AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)
IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)
Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
Vậy A,C,D đúng, B sai.
Hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất là
-
A.
AB
-
B.
2AB
-
C.
3AB
-
D.
4AB
Đáp án: C
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Sử dụng công thức tính chu vi hình thang và lập luận để có chu vi nhỏ nhất

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM\; và BD = DM
Chu vi hình thang ABDC là:
{P_{ABDC}} = AC + AB + BD + CD = CM + AB + DM + CD = AB + 2CD
\Rightarrow {P_{ABDC}}_{\min }\,{\rm{khi}}\,\,C{D_{\min }} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD//AB
Mà OM\; \bot CD{\rm{ }} \Rightarrow OM\; \bot AB
\Rightarrow {P_{ABDC\min }} = AB + 2AB = 3AB
Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC là 3AB khi OM \bot AB .
Rút gọn biểu thức \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} với x > 0 ta được
-
A.
x
-
B.
-x
-
C.
\sqrt x
-
D.
\sqrt {x + 2}
Đáp án : A
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số a,b không âm, ta có \sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b
-Sử dụng hằng đẳng thức \sqrt {{A^2}} = \left| A \right|
Ta có \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}} .\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + } 2}} = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| mà x > 0 nên \left| x \right| = x
Từ đó \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = x.
Giải phương trình \sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2 ta được nghiệm là
-
A.
x = 1
-
B.
x = 3
-
C.
x = 2
-
D.
Phương trình vô nghiệm
Đáp án : D
+ Tìm điều kiện
+ Giải phương trình dạng \sqrt A = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}
Điều kiện:
x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.
Ta có: \sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}
\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 1\, (vô nghiệm vì {x^2} \ge 0\,\,\forall x )
Vậy phương trình vô nghiệm.
Cho hai đường thẳng {d_1}:y = 2x - 2 và {d_2}:y = 3 - 4x. Tung độ giao điểm của {d_1};{d_2} có tọa độ là
-
A.
y = - \dfrac{1}{3}
-
B.
y = \dfrac{2}{3}
-
C.
y = 1
-
D.
y = - 1
Đáp án : A
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng theo các bước
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.
Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của {d_1} và {d_2} ta được
2x - 2 = 3 - 4x \Leftrightarrow 6x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}
Thay x = \dfrac{5}{6} vào phương trình đường thẳng {d_1}:y = 2x - 2 ta được y = 2.\dfrac{5}{6} - 2 = - \dfrac{1}{3}
Cho hai đường thẳng d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2} và d':y = - x + 1 .Với giá trị nào của m thì
d \equiv d'?
-
A.
m = - 2
-
B.
m = - 4
-
C.
m = 2
-
D.
Không có m thỏa mãn
Đáp án : C
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right) và d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right) thì d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right..
Ta thấy d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2} có a = 1 - m;b = \dfrac{m}{2} và d':y = - x + 1 có a' = - 1;b = 1 .
Điều kiện để d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2} là hàm số bậc nhất 1 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1
Để d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m = - 1\\\dfrac{m}{2} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\left( {tm} \right)
Vậy m = 2.
Viết phương trình đường thẳng d biết d tạo với đường thẳng y = 2 (theo chiều dương) một góc bằng 135^\circ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
-
A.
y = x - 4
-
B.
y = - x - 4
-
C.
y = x + 4
-
D.
y = - x + 4
Đáp án : D
Gọi phương trình đường thẳng d:y = ax + b \left( {a \ne 0} \right)
Xác định hệ số a dựa vào góc tạo bởi đường thẳng d với đường thẳng cho trước tìm b dựa vào giao điểm với trục tung.
Gọi phương trình đường thẳng d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)
Vì góc tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng y = 2 là 135^\circ nên góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox cũng là 135^\circ (do đường thẳng y = 1 song song với trục Ox) nên a = \tan 135^\circ = - 1
\Rightarrow y = - x + b
Vì đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 nên b = 4.
Từ đó d:y = - x + 4.
Đường thẳng y = a{\rm{x}} + b đi qua 2 điểm M\left( { - 3;2} \right) và N\left( {1; - 1} \right) là:
-
A.
y = - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}
-
B.
y = - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}
-
C.
y = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{4}
-
D.
y = - \dfrac{3}{4}x + 1
Đáp án : B
Sử dụng kiến thức:
+) Điểm ({x_0};{y_0}) thuộc đồ thị hàm số y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}.
+) Từ đó tìm a;b.
Gọi d:y = {\rm{ax}} + b đi qua 2 điểm M\left( { - 3;2} \right) và N\left( {1; - 1} \right)
M thuộc d \Leftrightarrow - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\,\,\,(1)
N thuộc d \Leftrightarrow 1.a + b = - 1 \Rightarrow b = - 1 - a \,\,\,\,\,(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2 + 3a = - 1 - a \Leftrightarrow 4a = - 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow b = 2 + 3a = - \dfrac{1}{4}
Nên a = \dfrac{{ - 3}}{4};b = - \dfrac{1}{4}.
Vậy d:y = - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}.
Tính \sin \alpha ,\,\,\tan \alpha biết \cos \alpha = \dfrac{3}{4}.
-
A.
\sin \alpha = \dfrac{4}{{\sqrt 7 }};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}
-
B.
\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \dfrac{3}{{\sqrt 7 }}
-
C.
\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}
-
D.
\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}
Đáp án : C
Sử dụng các hệ thức lượng giác thích hợp
+ Nếu \alpha là một góc nhọn bất kỳ thì
0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1, \tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0 , {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 ; \cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}
Ta có {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \dfrac{9}{{16}} = \dfrac{7}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}
Lại có \tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}.
Vậy \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}.
Cho tam giác ABC có \widehat B = {70^0},\widehat C = {35^0},AC = 4,5cm. Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A.
4
-
B.
5
-
C.
6
-
D.
8
Đáp án : C
+) Kẻ đường cao AD
+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh.
+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Kẻ đường cao AD.
Xét tam giác vuông ACD, có AD = AC.\sin C = 4,5.\sin 35^\circ \approx 2,58\,cm; CD = AC.\cos C = 4,5.\cos 35^\circ \approx 3,69\,cm
Xét tam giác vuông ABD, có BD = AD.\cot B \approx 2,58.\cot 70^\circ \approx 0,94\,cm
Suy ra BC = BD + DC = 0,94 + 3,69 = 4,63
Do đó {S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,97c{m^2}.
Cho tam giác ABC vuông tại A , cóAB = 15cm;AC = 20cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
A.
R = 25
-
B.
R = \dfrac{{25}}{2}
-
C.
R = 15
-
D.
R = 20
Đáp án : B
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Sử dụng định lý Pytago để tính toán

Vì tam giác ABC vuông tạiA nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền BC, bán kính là R = \dfrac{{BC}}{2}.
Theo định lý Pytago ta có BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 25 nên bán kính R = \dfrac{{25}}{2}.
Cho nửa đường tròn \left( O \right), đường kính AB và một dây CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F . So sánh độ dài CE và DF .
-
A.
CE > DF
-
B.
CE = 2DF
-
C.
CE < DF
-
D.
CE = DF
Đáp án : D
Bước 1: Lấy I là trung điểm của EF
Bước 2: Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn để hoàn thành.

Lấy I là trung điểm của EF
Xét tứ giác AEFB có AE\,{\rm{//}}FB (vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E;F.
Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI\,{\rm{//}}\,AE{\rm{//}}FB \Rightarrow OI \bot EF
Hay OI \bot CD nên I là trung điểm của CD ( quan hệ giữa dây và đường kính)
Ta có IE = IF;IC = ID \Rightarrow IE - IC = IF - ID \Leftrightarrow EC = DF.
Cho đường tròn \left( {O;25cm} \right) và dây AB bằng 40cm. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây AB là
-
A.
15cm
-
B.
7cm
-
C.
20cm
-
D.
24cm
Đáp án : A
Tính chất đường kính vuông góc với dây cung
Định lí Py-ta –go

Từ O kẻ OH vuông góc với AB.
Vậy H là trung điểm của AB (mối quan hệ giữa đường kính và dây) suy ra AH = \dfrac{{AB}}{2} = 20cm.
Xét tam giác OAH vuông tại H nên theo định lí Py-ta-go ta có
O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}={25^2} - {20^2} = 225 = {15^2}
Vậy OH = 15cm.
Tìm m để đường thẳng d:y = mx + 1 cắt đường thẳng d':y = 2x - 1 tại 1 điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ II và thứ IV.
-
A.
m = 1
-
B.
m = - 4
-
C.
m = - 1
-
D.
m = 2
Đáp án : B
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước
- Đường phân giác của góc phần tư thứ 2 có phương trình y = - x
Ta có: d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d':
\begin{array}{l}mx + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = - 2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} - 1 = \dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}}.\end{array}
Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ 2 là y = - x
Vì d và d' cắt nhau tại 1 điểm điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ II và thứ IV nên ta có:
\dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}} = - \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Leftrightarrow - m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 4 (t/m)
Vậy m = - 4.
Cho hình thang ABCD có \widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB. Tính diện tích của hình thang.
-
A.
350\sqrt 3 \,\,c{m^2}
-
B.
50\sqrt 3 \,\,c{m^2}
-
C.
250\sqrt 3 \,\,c{m^2}
-
D.
700\sqrt 3 \,\,c{m^2}
Đáp án : A
Kẻ CH \bot AB.
Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có \tan \widehat{CAD}=\dfrac{DC}{AD}\Leftrightarrow AD=DC:\tan 60^0=AD = 10\sqrt 3 \left( {cm} \right).
Kẻ CH \bot AB. Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có \widehat A = \widehat D = \widehat H = {90^0}, suy ra AH = CD = 30cm;CH = AD = 10\sqrt 3 \left( {cm} \right).
Tam giác ACB vuông tại C, ta có: C{H^2} = HA.HB, suy ra HB = \dfrac{{C{H^2}}}{{HA}} = \dfrac{{{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{30}} = \dfrac{{300}}{{30}} = 10\left( {cm} \right),
do đó AB = AH + HB = 30 + 10 = 40\left( {cm} \right).
{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CH\left( {AB + CD} \right)=\dfrac{1}{2}.10\sqrt 3 .\left( {40 + 30} \right) = 350\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right).
Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350\sqrt 3 c{m^2}
Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ OH \bot xy . Chọn câu đúng.
-
A.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H.
-
B.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm OH .
-
C.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và AB.
-
D.
Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và \left( {O;R} \right).
Đáp án : C
+ Sử dụng tam giác đồng dạng
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chỉ ra các điểm và đoạn thẳng cố định.

Vì OH \bot xy, nên H là một điểm cố định và OH không đổi
Gọi giao điểm của AB và OM là E; giao điểm của AB với OH là F.
Vì \left( {O;R} \right) và đường tròn đường kính OM cắt nhau tại A;B nên AB \bot OM
Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên \widehat {OAM} = 90^\circ
Xét \Delta OEF và \Delta OHM có \widehat O chung và \widehat {OEF} = \widehat {OHM} = 90^\circ nên \Delta OEF \backsim \Delta OHM\left( {g - g} \right)
Suy ra \dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{OF}}{{OM}} \Rightarrow OE.OM = OF.OH
Xét \Delta MAO vuông tại A có AE là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
\begin{array}{*{20}{l}}{OM.OE = O{A^2}\; = {R^2}}\\{\; \Rightarrow OF.OH = {R^2}\; \Rightarrow OF = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}}\end{array}
Do OH không đổi nên OF cũng không đổi
Vậy F là một điểm cố định hay AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của AB và OH.