Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 13 có lời giải chi tiết — Không quảng cáo

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án

Đề bài

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức $P = \sqrt 5  \cdot \sqrt {20}$ là

A. 10 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 8 .

Phương pháp:

Công thức khai phương căn bậc hai, trục căn thức.

Lời giải:

$P = \sqrt 5 .\sqrt {20}  = \sqrt {5.20}  = \sqrt {100}  = 10$

Đáp án A.

Câu 2: Nghiệm của phương trình $\sqrt x  - 1 = 3$ là

A. 8 .

B. 9 .

C. 16 .

D. 11 .

Phương pháp:

Bình phương 2 vế

Lời giải:

$\begin{align} \sqrt{x}-1=3\left( K:x\ge 0 \right) \\\Leftrightarrow \sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16 \\ \end{align}$

Đáp án C.

Câu 3: Rút gọn biểu thức $\frac{2}{{\sqrt 3  - 1}} - \frac{2}{{\sqrt 3  + 1}}$ thu được kết quả là

A. 0 .

B. 2 .

C. $2\sqrt 3$.

D. $- 2\sqrt 3$.

Phương pháp:

Trục căn thức và rút gọn.

Lời giải:

$\frac{2}{{\sqrt 3  - 1}} - \frac{2}{{\sqrt 3  + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} = \frac{4}{{3 - 1}} = 2$

Đáp án B.

Câu 4: Điều kiện xác định của $\sqrt {2022 - 2023x}$ là

A. $x \ge \frac{{2022}}{{2023}}$.

B. $x \le \frac{{2022}}{{2023}}$.

C. $x \ge \frac{{2023}}{{2022}}$.

D. $x \le \frac{{2023}}{{2022}}$.

Phương pháp:

$\sqrt A$ xác định khi $A \ge 0$

Lời giải:

$\sqrt {2022 - 2023x}$ xác định khi $2022 - 2023x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{{2022}}{{2023}}$

Đáp án B.

Câu 5: Cho $\Delta ABC$ vuông tại ${\rm{A}}$ có $AB = 6\;{\rm{cm}},AC = 8\;{\rm{cm}}$. Độ dài đường cao ${\rm{AH}}$ bằng

A. $\frac{5}{{24}}\;{\rm{cm}}$.

B. $4,8\;{\rm{cm}}$.

C. $23,04\;{\rm{cm}}$.

D. $10\;{\rm{cm}}$.

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}} \Rightarrow AH = \frac{{24}}{5} = 4,8cm$

Đáp án B.

Câu 6: Cho $\Delta ABC$ vuông tại ${\rm{A}}$, có $AB = 3,AC = 4$. Khi đó tanB bằng

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{3}{5}$.

C. $\frac{4}{3}$.

D. $\frac{4}{5}$.

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải:

Ta có $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}$

Đáp án C.

Phần II: Tự luận

Câu 7: (1,5d) Thực hiện phép tính:

a) $(3\sqrt 5  - 2\sqrt 3 ) \cdot \sqrt 5  + \sqrt {60}$.

b) $\sqrt {125}  - 4\sqrt {45}  + 3\sqrt {20}  + \sqrt {80}$.

Phương pháp:

Công thức khai phương căn bậc hai, trục căn thức.

Lời giải:

a) $(3\sqrt 5  - 2\sqrt 3 ) \cdot \sqrt 5  + \sqrt {60}  = 3\sqrt {5.5}  - 2\sqrt {3.5}  + \sqrt {4.15}$ $= 3.5 - 2\sqrt {15}  + 2\sqrt {15}  = 15$

b) $\sqrt {125}  - 4\sqrt {45}  + 3\sqrt {20}  + \sqrt {80}  = 5\sqrt 5  - 12\sqrt 5  + 6\sqrt 5  + 4\sqrt 5  = 3\sqrt 5$

Câu 8: (1,5đ) Giải phương trình:

a) $\sqrt {4x + 20}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9x + 45}  = 4$;

b) $\frac{{2\sqrt x  - 7}}{3} + \sqrt x  - \frac{{3\sqrt x  - 5}}{2} = 1$

Phương pháp:

a) Tìm điều kiện xác định, đưa các hệ số ra ngoài căn và rút gọn

b) Quy đồng bỏ mẫu và rút gọn, giải phương trình

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $x \ge  - 5$

Khi đó $\sqrt {4x + 20}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9x + 45}  = 4$

$\Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9(x + 5)}  = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt {x + 5}  = 4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5}  + \sqrt {x + 5}  - \sqrt {x + 5}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x + 5}  = 2 \Leftrightarrow x + 5 = 4$

$\Leftrightarrow x =  - 1$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm là $x =  - 1$

b) ĐKXÐ: $x \ge 0$

Khi đó $\frac{{2\sqrt x  - 7}}{3} + \sqrt x  - \frac{{3\sqrt x  - 5}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2(2\sqrt x  - 7) + 6\sqrt x  - 3(3\sqrt x  - 5) = 6$

$\Leftrightarrow 4\sqrt x  - 14 + 6\sqrt x  - 9\sqrt x  + 15 = 6 \Leftrightarrow \sqrt x  = 5 \Leftrightarrow x = 25$ (thỏa mãn)

Vây phương trình có nghiệm là $x = 25$

Câu 9: (2đ) Cho biểu thức $A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$ với ${\rm{a}} > 0$,

a) Rút gọn biểu thức ${\rm{A}}$.

b) Tìm ${\rm{a}}$ để ${\rm{A}} = 2$.

c) Tìm a để ${\rm{A}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:

a) Rút gọn các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

b) Giải phương trình $A = 2$ tìm a

c) Áp dụng hằng đẳng thức.

Lời giải:

a) Với $a > 0$ ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\ = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt {{a^3}}  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1\\ = \frac{{\sqrt a (\sqrt a  + 1)(a - \sqrt a  + 1)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\ = \sqrt a (\sqrt a  + 1) - 2\sqrt a  - 1 + 1\\ = a + \sqrt a  - 2\sqrt a \\ = a - \sqrt a \end{array}$

Vậy với ${\rm{a}} > 0$ thì ${\rm{A}} = a - \sqrt a$.

b) Để ${\rm{A}} = 2$ thì $a - \sqrt a  = 2 \Leftrightarrow a - \sqrt a  - 2 = 0 \Leftrightarrow a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a (\sqrt a  + 1) - 2(\sqrt a  + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (\sqrt a  + 1)(\sqrt a  - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt a  - 2 = 0({\rm{ do }}\sqrt a  + 1 > 0)\\ \Leftrightarrow \sqrt a  = 2 \Leftrightarrow a = 4(TM)\end{array}$

Vậy $a = 4$.

$\begin{array}{l}{\rm{ c) A}} = a - \sqrt a \\ = a - 2\sqrt a  \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\\ = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {A_{\min }} =  - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt a  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của ${\rm{A}}$ là $- \frac{1}{4}$, đạt được khi $a = \frac{1}{4}$.

Câu 10: (2đ) Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $\widehat B = {30^0},AB = 6\;{\rm{cm}}$.

a) Giải $\Delta ABC$.

b) Vẽ đường cao ${\rm{AH}}$ và trung tuyến ${\rm{AM}}$ của $\Delta ABC$. Tính diện tích $\Delta AHM$.

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn $\sin ,\cos ,\tan ,\cot$.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat C = {90^0} - \widehat B = {90^0} - {30^0} = {60^0}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại ${\rm{A}}$, đường cao ${\rm{AH}}$. Ta có :

$\begin{array}{l}AC = AB.\tan B = 6.\tan {30^0} = 2\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\\BC = \frac{{AB}}{{\cos {\rm{B}}}} = \frac{6}{{\cos {{30}^0}}} = 4\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\end{array}$

b) Xét $\Delta ABH,$ ta có $AH = AB.\sin B = 6.\sin {30^0} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\;{\rm{cm}}\\HB = AB.\cos B = 6.\cos {30^0} = 6 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\\MB = \frac{{BC}}{2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\\HM = HB - MB = 3\sqrt 3  - 2\sqrt 3  = \sqrt 3 \;{\rm{cm}}$

Diện tích $\Delta AHM$ là: ${S_{\Delta AHM}} = \frac{{AH \cdot HM}}{2} = \frac{{3 \cdot \sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$