Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 11 có lời giải chi tiết — Không quảng cáo

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án

Đề bài

Câu 1: Tính

a) $\sqrt {50}  + \sqrt {32}  - 3\sqrt {18}  + 4\sqrt 8$

b) $\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

Câu 2: Giải phương trình

a) $\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = 5$

b) $3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4x - 8}  + 4\sqrt {\frac{{9x - 18}}{4}}  = 14$

c) $\sqrt[3]{{4x - 1}} = 3$

Câu 3: Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}}$ và $B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 10}}{{x - 4}}$ (với $x \ge 0,x \ne 4$)

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho biểu thức P =  A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để $P \le {\rm{ \;}} - 1$.

Câu 4: Hãy tính chiều cao của tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp khi biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là ${62^0}$ và bóng của tháp trên mặt đất khi đó là 172m (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ nhất)

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AM. Kẻ $ME \bot AB.$

a) Tính $BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.$

b) Tính độ dài $AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM.$

c) Chứng minh $AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.$

Câu 6 : Chứng minh rằng nếu $xyz = 1$ thì $\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = 1$.

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Câu 1: Tính

a) $\sqrt {50}  + \sqrt {32}  - 3\sqrt {18}  + 4\sqrt 8$

b) $\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

Phương pháp:

Công thức khai phương căn bậc hai, trục căn thức.

Lời giải:

a) $\sqrt {50}  + \sqrt {32}  - 3\sqrt {18}  + 4\sqrt 8$

$\begin{array}{l} = \sqrt {25.2}  + \sqrt {16.2}  - 3\sqrt {9.2}  + 4\sqrt {4.2} \\ = 5\sqrt 2  + 4\sqrt 2  - 9\sqrt 2  + 8\sqrt 2 \\ = 8\sqrt 2 \end{array}$

b) $\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5  - 2} \right)}}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5  + 1} \\ = \sqrt 5  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt 5  - \left| {\sqrt 5  - 1} \right|\\ = \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1\\ = 1\end{array}$

Câu 2: Giải phương trình

a) $\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = 5$

b) $3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4x - 8}  + 4\sqrt {\frac{{9x - 18}}{4}}  = 14$

c) $\sqrt[3]{{4x - 1}} = 3$

Phương pháp:

a) Đưa về phương trình trị tuyệt đối chia hai trường hợp

b) Tìm điều kiện xác định, đưa các hệ số ra ngoài căn và rút gọn

c) Lập phương 2 vế của phương trình

Lời giải:

a) $\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = 5$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}  = 5\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 5\\2x - 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 6\\2x =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $S = \left\{ { - 2,3} \right\}$

b) $3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4x - 8}  + 4\sqrt {\frac{{9x - 18}}{4}}  = 14$

TXĐ: $x \ge 2$

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4\left( {x - 2} \right)}  + 4\sqrt {\frac{{9\left( {x - 2} \right)}}{4}}  = 14\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 2}  - 2\sqrt {x - 2}  + 6\sqrt {x - 2}  = 14\\ \Leftrightarrow 7\sqrt {x - 2}  = 14\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  = 2\\ \Leftrightarrow x - 2 = 4\\ \Leftrightarrow x = 6\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $S = \left\{ 6 \right\}$

c) $\sqrt[3]{{4x - 1}} = 3$

TXĐ: $\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 4x - 1 = {3^3}\\ \Leftrightarrow 4x - 1 = 27\\ \Leftrightarrow 4x = 28\\ \Leftrightarrow x = 7\\ \Rightarrow S = \left\{ 7 \right\}\end{array}$

Câu 3: Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}}$ và $B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 10}}{{x - 4}}$ (với $x \ge 0,x \ne 4$)

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho biểu thức P =  A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để $P \le {\rm{ \;}} - 1$.

Phương pháp:

a) Kiểm tra x = 9 có thỏa mãn điều kiện hay không, sau đó thay vào biểu thức A để tính.

b) Xác định mẫu thức chung, quy đồng và thực hiện các phép toán với các phân thức đại số.

c) Tính P = A.B.

Biến đổi $P \le {\rm{ \;}} - 1$ $\Leftrightarrow P + 1 \le 0$

$\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \le 0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,g\left( x \right) < 0$ hoặc $f\left( x \right) \le 0,g\left( x \right) > 0$

Lời giải:

a) Với $x = 9\left( {tmdk} \right)$ thay vào A ta được: $A = \frac{{\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt 9 {\rm{ \;}} - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = \frac{5}{1} = 5$

Vậy $x = 9$ thì $A = 5$.

b) $B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 10}}{{x - 4}}$

$= \frac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 10}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right) - \left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 10} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}$

$= \frac{{3\sqrt x {\rm{\;}} - 6 - \sqrt x {\rm{\;}} - 10}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}} = \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 16}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}$

Vậy $B = \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}}$ với $x \ge 0,x \ne 4$.

c) Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{P = A.B}\\{P = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}}.\frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}}}\\{P = \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)}^2}}}}\end{array}$

Để $P \le {\rm{ \;}} - 1$$\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)}^2}}} \le {\rm{ \;}} - 1$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}^2}}} + 1 \le 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16 + x + 4\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}^2}}} \le 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{{x + 6\sqrt x {\rm{ \;}} - 12}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}^2}}} \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}$

Vì $x \ge 0,x \ne 4 \Rightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} + 2 \ge 2 \Rightarrow {\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)^2} \ge 4 > 0$

Do đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 6\sqrt x {\rm{ \;}} - 12 \le 0$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow x + 6\sqrt x {\rm{ \;}} + 9 - 21 \le 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 3} \right)}^2} - 21 \le 0}\\{ \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - \sqrt {21} {\rm{ \;}} \le \sqrt x {\rm{ \;}} + 3 \le \sqrt {21} }\\{ \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - \sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3 \le \sqrt x {\rm{ \;}} \le \sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3}\\{ \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} \le \sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3}\\{ \Leftrightarrow x \le {{\left( {\sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3} \right)}^2}}\\{ \Leftrightarrow x \le 30 - 6\sqrt {21} }\end{array}$

Kết hợp điều kiện: $x \ge 0,x \ne 4$ ta có $0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21}$.

Vậy $0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21}$.

Câu 4: Hãy tính chiều cao của tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp khi biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là ${62^0}$ và bóng của tháp trên mặt đất khi đó là 172m (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ nhất)

Phương pháp:

Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

Bài toán được mô tả như hình vẽ

Chiều cao của tháp Eiffel là độ dài đoạn BH

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có

$BH = AH.\tan \widehat {BAH}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow BH = 172.\tan {62^0} = 323,5m$

Vậy chiều cao của tháp Eiffel là 323,5m

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AM. Kẻ $ME \bot AB.$

a) Tính $BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.$

b) Tính độ dài $AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM.$

c) Chứng minh $AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.$

Phương pháp:

a) Sử dụng định lý Pitago để tính $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} .$

Sử dụng các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và định lý tổng số đo của 3 góc trong tam giác để tính số đo của $\widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AM  ta có: $AM.BC = AB.AC$ và $A{B^2} = BM.BC.$

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AMB vuông tại A, có đường cao ME  ta có: $A{M^2} = AE.AB$ và định lý Pitago cho $\Delta AMC$ vuông tại M để chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Lời giải:

a) Tính $BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}$ $= \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {400}$ $= 20{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{16}}{{20}} = 0,8$ $\Rightarrow \widehat B \approx {53^0}.$

$\Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B$ $= {90^0} - {53^0} = {37^0}.$

b) Tính độ dài $AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AM  ta có: $AM.BC = AB.AC$

$\Rightarrow AM = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{12.16}}{{20}} = 9.6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right).$

Lại có: $A{B^2} = BM.BC$ $\Rightarrow BM = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.$

Vậy $AM = 9,6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm$ và $BM = 7,2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.$

c) Chứng minh $AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AMB vuông tại A, có đường cao ME  ta có: $A{M^2} = AE.AB$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta AMC$ vuông tại $M$ ta có: $A{M^2} = A{C^2} - M{C^2}$

$\Rightarrow AE.AB = A{C^2} - M{C^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { = A{M^2}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).$

Câu 6 : Chứng minh rằng nếu $xyz = 1$ thì $\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = 1$.

Phương pháp:

Sử dụng linh hoạt giả thiết $xyz = 1$ , chứng minh

$\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}}}\\{\frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{y}{{y + yz + 1}}}\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{1}{{xyz + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{xyz}}{{x\left( {yz + 1 + y} \right)}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}}}\\{\frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{{xyz}}{{xzy + z.\left( {xyz} \right) + zx}} = \frac{{xyz}}{{xz\left( {y + yz + 1} \right)}} = \frac{y}{{y + yz + 1}}}\end{array}$

Suy ra :$\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}} + \frac{y}{{y + yz + 1}} = \frac{{1 + y + yz}}{{1 + y + yz}} = 1$ (đpcm)