Processing math: 24%

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 4 — Không quảng cáo

Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9


Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 4

Đề bài

Câu 1 :

So sánh hai  số 5345

  • A.

    53>45

  • B.

    53=45

  • C.

    5345

  • D.

    53<45

Câu 2 :

Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình ax2=mx+n vô nghiệm thì đường thẳng d:y=mx+n và  parabol  (P):y=ax2

  • A.

    Cắt nhau tại hai điểm

  • B.

    Tiếp xúc với nhau

  • C.

    Không cắt nhau

  • D.

    Cắt nhau tại gốc tọa độ

Câu 3 :

Biêt chu vi đường tròn là C=36π(cm). Tính đường kính của đường tròn.

  • A.

    18(cm)

  • B.

    14(cm)

  • C.

    36(cm)

  • D.

    20(cm)

Câu 4 :

Cho các biểu thức với A<0B0 , khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    A2B=AB

  • B.

    A2B=AB

  • C.

    A2B=BA

  • D.

    A2B=BA

Câu 5 :

Chọn khẳng định đúng về đồ thị hàm số y=ax+b(a0).

  • A.

    Là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

  • B.

    Là đường thẳng song song với trục hoành

  • C.

    Là đường thẳng đi qua hai điểm A(0;b),B(ba;0) với b0

  • D.

    Là đường cong đi qua gốc tọa độ

Câu 6 :

Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

  • A.

    3

  • B.

    1

  • C.

    12

  • D.

    2

Câu 7 :

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF,Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là:

  • A.

    Hình thang

  • B.

    Tứ giác nội tiếp

  • C.

    Hình thang cân

  • D.

    Hình bình hành

Câu 8 :

Cho mặt cầu có thể tích V=288π(cm3) . Tính đường kính mặt cầu.

  • A.

    6cm

  • B.

    12cm

  • C.

    8cm

  • D.

    16cm

Câu 9 :

Cho (O;R). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại tiếp điểm A khi

  • A.

    dOA tại AA(O)

  • B.

    dOA

  • C.

    A(O)

  • D.

    d//OA

Câu 10 :

Phương trình x5=3x có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 11 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình x25x+2=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A=x21+x22

  • A.

    20

  • B.

    21

  • C.

    22

  • D.

    23

Câu 12 :

Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng 38 số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.

  • A.

    12

  • B.

    16

  • C.

    14

  • D.

    6

Câu 13 :

Hai đường thẳng d:y=ax+b(a0)d:y=ax+b(a0) cắt nhau khi

  • A.

    aa

  • B.

    {aabb

  • C.

    {a=abb

  • D.

    {aab=b

Câu 14 :

Tìm điều kiện của x để căn thức 1x1 có nghĩa.

  • A.

    x1

  • B.

    x<1

  • C.

    x>1

  • D.

    x=1

Câu 15 :

Cho tam giác ABCAC=3cm,AB=4cm,BC=5cm. Vẽ đường tròn (C;CA). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    Đường thẳng BC cắt đường tròn (C;CA) tại một điểm

  • B.

    AB là cát tuyến của đường tròn (C;CA)

  • C.

    AB là tiếp tuyến của (C;CA)

  • D.

    BC là tiếp tuyến của (C;CA)

Câu 16 :

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình 1 ). Chọn khẳng định sai?

  • A.

    ^BDC=^BAC

  • B.

    ^ABC+^ADC=180

  • C.

    ^DAB=^BAx

  • D.

    ^BCA=^BDA

Câu 17 :

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM< cung AM). Vẽ MH vuông góc với BC tại H , vẽ MI vuông góc với AC tại I . Chọn câu đúng :

  • A.

    MIHC là hình chữ nhật.

  • B.

    MIHC là hình vuông.

  • C.

    MIHC không là tứ giác nội tiếp.

  • D.

    MIHC là tứ giác nội tiếp.

Câu 18 :

Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h , rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC30  phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB.

  • A.

    2 giờ

  • B.

    1,5 giờ

  • C.

    1 giờ

  • D.

    3 giờ

Câu 19 :

Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là

  • A.

    giao của ba đường phân giác góc trong tam giác

  • B.

    giao ba đường trung trực của tam giác

  • C.

    trọng tâm tam giác

  • D.

    trực tâm tam giác

Câu 20 :

Cho tam giác ABCBC cố định và góc A bằng 50. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.

  • A.

    Một cung chứa góc 115 dựng trên đoạn BC.

  • B.

    Một cung chứa góc 115 dựng trên đoạn AC.

  • C.

    Hai cung chứa góc 115 dựng trên đoạn AB.

  • D.

    Hai cung chứa góc 115 dựng trên đoạn BC.

Câu 21 :

Giá trị của biểu thức  216a33a2764a75

  • A.

    233a15

  • B.

    3a15

  • C.

    23a15

  • D.

    33a15

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức: A=(x212x)(xxx+1x+xx1) v ới x>0;x1.

  • A.

    A=2x

  • B.

    A=2x

  • C.

    A=x

  • D.

    A=4x

Câu 23 :

Giải phương trình 2x24x+5=x2  ta được nghiệm là

  • A.

    x=1

  • B.

    x=3

  • C.

    x=2

  • D.

    Phương trình vô nghiệm

Câu 24 :

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y=2x+m+2y=5x+52m cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

  • A.

    m=1

  • B.

    m=0

  • C.

    m=1

  • D.

    m=2

Câu 25 :

Cho đường thẳng d:y=3x12. Giao điểm của d với trục tung là

  • A.

    A(16;0)

  • B.

    B(0;12)

  • C.

    C(0;16)

  • D.

    D(0;12)

Câu 26 :

Cho hai đường thẳng d:y=(m+2)xmd:y=2x2m+1 .Với giá trị nào của m thì dd?

  • A.

    m=2

  • B.

    m=4

  • C.

    m=2

  • D.

    Không có m thỏa mãn

Câu 27 :

Cho hệ phương trình: {(a+1)xy=a+1(1)x+(a1)y=2(2)

( a là tham số)

Với a0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

  • A.

    a=1

  • B.

    a=1

  • C.

    a{±1}

  • D.

    a=±1

Câu 28 :

Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 12% , xí nghiệp 2  vượt mức 10% , do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch

  • A.

    160 dụng cụ

  • B.

    200 dụng cụ.

  • C.

    120 dụng cụ.

  • D.

    240 dụng cụ.

Câu 29 :

Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng 45 số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên giá thứ hai.

  • A.

    150 cuốn

  • B.

    300 cuốn

  • C.

    200 cuốn

  • D.

    250 cuốn

Câu 30 :

Lập phương trình nhận hai số 353+5 làm nghiệm.

  • A.

    x26x4=0

  • B.

    x26x+4=0

  • C.

    x2+6x+4=0

  • D.

    x26x+4=0

Câu 31 :

Tìm giá trị của m để phương trình x2+(4m+1)x+2(m4)=0 c ó hai nghiệm x1,x2 và biểu thức A=(x1x2)2 đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=0

  • C.

    m=2

  • D.

    m=3

Câu 32 :

Tìm tham số m để đường thẳng d:y=mx+2 cắt  parabol  (P):y=x22  tại hai điểm phân biệt

  • A.

    m=2

  • B.

    m=2

  • C.

    m=4

  • D.

    mR

Câu 33 :

Cho hai đường tròn  (O);(O) cắt nhau tại A,B, trong đó O(O). Kẻ đường kính OOC của đường tròn (O). Chọn khẳng định sai ?

  • A.

    AC=CB

  • B.

    ^CBO=90

  • C.

    CA,CB là hai tiếp tuyến của (O)

  • D.

    CA,CB là hai cát tuyến của (O)

Câu 34 :

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE=CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và  BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC.

  • A.

    Nửa đường tròn đường kính BD .

  • B.

    Cung BC của đường tròn đường kính BD.

  • C.

    Cung BC của đường tròn đường kính BD trừ điểm B,C .

  • D.

    Đường tròn đường kính BD .

Câu 35 :

Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm D nằm giữa AB . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là FG. Khi đó, kết luận không đúng là:

  • A.

    ΔABC.

  • B.

    Tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.

  • C.

    Tứ giác AFBC không là tứ giác nội tiếp.

  • D.

    Các đường thẳng AC,DEBF đồng quy.

Câu 36 :

Cho \Delta ABC vuông ở A . Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC . Kẻ BM cắt đường tròn tại D . Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

  • A.

    Tứ giác ABCD nội tiếp.

  • B.

    \widehat {ABD} = \widehat {ACD}

  • C.

    CA là phân giác của \widehat {SCB}.

  • D.

    Tứ giác ABCS nội tiếp.

Câu 37 :

Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh AB = 5\,\,cm , \widehat B = {60^ \circ }. Đường tròn tâm I , đường kính AB cắt BCD . Chọn khẳng định sai?

  • A.

    Độ dài cung nhỏ BD của \left( I \right)\dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {cm} \right)

  • B.

    AD \bot BC

  • C.

    D thuộc đường tròn đường kính AC

  • D.

    Độ dài cung nhỏ BD của \left( I \right)\dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {cm} \right)

Câu 38 :

Cho hình chữ nhật ABCDAB = 4\,cm;AD = 3\,cm . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD , N là trung điểm BC .

  • A.

    25\pi

  • B.

    \dfrac{{25\pi }}{8}

  • C.

    25

  • D.

    \dfrac{{25\pi }}{4}

Câu 39 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C.

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    - 1

  • D.

    2

Câu 40 :

Cho đoạn thẳng AB = 2a  và trung điểm O  của nó. Trên nửa mặt phẳng bờ AB  vẽ các tia Ax,By\;  vuông góc với AB.  Qua O  vẽ một tia cắt tia Ax  tại M  sao cho \widehat {AOM} = \alpha  < {90^0} . Qua O  vẽ tia thứ hai cắt tia By  tại N  sao cho \widehat {MON} = 90^\circ . Khi đó, diện tích tam giác MON

  • A.

    \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}

  • B.

    \dfrac{{{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}

  • C.

    \dfrac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}

  • D.

    \dfrac{{2{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

So sánh hai  số 5\sqrt 3 4\sqrt 5

  • A.

    5\sqrt 3  > 4\sqrt 5

  • B.

    5\sqrt 3  = 4\sqrt 5

  • C.

    5\sqrt 3  \ge 4\sqrt 5

  • D.

    5\sqrt 3  < 4\sqrt 5

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số \sqrt A  < \sqrt B  \Leftrightarrow 0 \le A < B.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} với A \ge 0B \ge 0

+) A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} với A < 0B \ge 0

Lời giải chi tiết :

Ta có 5\sqrt 3  = \sqrt {{5^2}.3}  = \sqrt {25.3}  = \sqrt {75} ; 4\sqrt 5  = \sqrt {{4^2}.5}  = \sqrt {16.5}  = \sqrt {80}

75 < 80 nên \sqrt {75}  < \sqrt {80}  hay 5\sqrt 3  < 4\sqrt 5

Câu 2 :

Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình a{x^2} = mx + n vô nghiệm thì đường thẳng d:y = mx + n và  parabol  \left( P \right):y = a{x^2}

  • A.

    Cắt nhau tại hai điểm

  • B.

    Tiếp xúc với nhau

  • C.

    Không cắt nhau

  • D.

    Cắt nhau tại gốc tọa độ

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng d:y = mx + n và parabol \left( P \right):y = a{x^2} không cắt nhau  khi phương trình a{x^2} = mx + n vô nghiệm.

Câu 3 :

Biêt chu vi đường tròn là C = 36\pi (cm). Tính đường kính của đường tròn.

  • A.

    18(cm)

  • B.

    14(cm)

  • C.

    36(cm)

  • D.

    20 (cm)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức chu vi đường tròn đường kính d = 2RC = \pi d\,

Lời giải chi tiết :

Chu vi C = \pi d = 36\pi  \Rightarrow d = 36. Vậy đường kính cần tìm là 36(cm) .

Câu 4 :

Cho các biểu thức với A < 0B \ge 0 , khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    \sqrt {{A^2}B}  = A\sqrt B

  • B.

    \sqrt {{A^2}B}  =  - A\sqrt B

  • C.

    \sqrt {{A^2}B}  = -B\sqrt A

  • D.

    \sqrt {{A^2}B}  = B\sqrt A

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Với hai biểu thức A,BB \ge 0, ta có \sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.

Câu 5 :

Chọn khẳng định đúng về đồ thị hàm số y = ax + b(a \ne 0).

  • A.

    Là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

  • B.

    Là đường thẳng song song với trục hoành

  • C.

    Là đường thẳng đi qua hai điểm A(0;b),B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right) với b \ne 0

  • D.

    Là đường cong đi qua gốc tọa độ

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right) là một đường thẳng

Trường hợp 1: Nếu b = 0 ta có hàm số y = ax. Đồ thị của y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(1;a).

Trường hợp 2: Nếu b \ne 0 thì đồ thị y = ax + b là đường thẳng đi qua các điểm A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).

Câu 6 :

Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

  • A.

    3

  • B.

    1

  • C.

    \dfrac{1}{2}

  • D.

    2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2} và diện tích xung quanh của hình trụ {S_{xq}} = 2\pi Rh

Lời giải chi tiết :

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2} , diện tích xung quanh của hình trụ {S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}

Tỉ số giữa d iện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ \dfrac{S}{{{S_{xq}}}} = \dfrac{{4\pi {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = 1 .

Câu 7 :

Cho nửa đường tròn \left( {O;R} \right) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF,Bx của nửa đường tròn \left( O \right) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là:

  • A.

    Hình thang

  • B.

    Tứ giác nội tiếp

  • C.

    Hình thang cân

  • D.

    Hình bình hành

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tứ giác có tổng một cặp góc đối bằng {180^0} là tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết :

Ta có \widehat {DBO} = {90^0}\widehat {DFO} = {90^0} ( tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác OBDF\widehat {DBO} + \widehat {DFO} = {90^0} + {90^0} = {180^0} nên nội tiếp được trong một đường tròn.

Câu 8 :

Cho mặt cầu có thể tích V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right) . Tính đường kính mặt cầu.

  • A.

    6\,cm

  • B.

    12\,cm

  • C.

    8\,cm

  • D.

    16\,cm

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích khối cầu V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi 

{R^3} = 216

R = 6\,cm

Từ đó đường kính mặt cầu là d = 2R = 2.6 = 12\,cm.

Câu 9 :

Cho \left( {O;R} \right). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \left( {O;R} \right) tại tiếp điểm A khi

  • A.

    d \bot OA tại AA \in \left( O \right)

  • B.

    d \bot OA

  • C.

    A \in \left( O \right)

  • D.

    d{\rm{//}}OA

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Câu 10 :

Phương trình \sqrt {x - 5}  = \sqrt {3 - x} {\rm{ }} có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải phương trình dạng \sqrt A  = \sqrt B

ĐK: A \ge 0  (hoặc B \ge 0 )

Khi đó \sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow A = B

So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:  x \ge 5

Ta có \sqrt {x - 5}  = \sqrt {3 - x} {\rm{ }} \Leftrightarrow x - 5 = 3 - x \Leftrightarrow x + x = 3 + 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {KTM} \right)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 11 :

Gọi {x_1};{x_2} là nghiệm của phương trình {x^2} - 5x + 2 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x_1^2 + x_2^2

  • A.

    20

  • B.

    21

  • C.

    22

  • D.

    23

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng định lí Viète

Nếu {x_1},{x_2} là hai nghiệm của phương trình a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0) thì \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}

Lời giải chi tiết :

Phương trình {x^2} - 5x + 2 = 0\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm {x_1};{x_2}

Theo định lí Vi-et ta có \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{-(-5)}{1} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{2}{1} = 2\end{array} \right..

Ta có A = x_1^2 + x_2^2 = \left(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21

Câu 12 :

Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng \dfrac{3}{8} số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.

  • A.

    12

  • B.

    16

  • C.

    14

  • D.

    6

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi số cần tìm là \overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}a,b \le 9.

Biểu diễn số mới theo ab, từ đó viết các phương trình dựa vào đề bài để lập hệ phương trình.

Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình tìm được.

Lời giải chi tiết :

Gọi số cần tìm là \overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}a,b \le 9.

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \overline {ba}

Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba}  = \dfrac{3}{8}\overline {ab}  \end{array} \right. hay \left\{ \begin{array}{l}a - b = 5 \;(1)\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right) (2)\end{array}\right.

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 8, ta được phương trình: 80b + 8a = 30a + 3b \;(3)

Từ phương trình (1) suy ra a = b + 5

Thế vào phương trình (3), ta được:

80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b

55b = 110

b = 2 (TM)

Suy ra a = 2 + 5 = 7 (TM)

Vậy số cần tìm là 72 nên tích các chữ số là 2.7 = 14.

Câu 13 :

Hai đường thẳng d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right) cắt nhau khi

  • A.

    a \ne a'

  • B.

    \left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b \ne b'\end{array} \right.

  • C.

    \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.

  • D.

    \left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b = b'\end{array} \right.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho hai đường thẳng d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right).

d cắt d' \Leftrightarrow a \ne a'.

Câu 14 :

Tìm điều kiện của x để căn thức \sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} có nghĩa.

  • A.

    x \ge 1

  • B.

    x < 1

  • C.

    x > 1

  • D.

    x = 1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

\sqrt A xác định (hay có nghĩa)  khi A lấy giá trị không âm tức là A \ge 0.

Ngoài ra: \dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0

Lời giải chi tiết :

Ta có \sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} có nghĩa  \Leftrightarrow  \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow  x - 1 > 0  (vì 1>0)

\Leftrightarrow x > 1

Câu 15 :

Cho tam giác ABCAC = 3cm,AB = 4cm,BC = 5cm. Vẽ đường tròn \left( {C;CA} \right). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    Đường thẳng BC cắt đường tròn \left( {C;CA} \right) tại một điểm

  • B.

    AB là cát tuyến của đường tròn \left( {C;CA} \right)

  • C.

    AB là tiếp tuyến của \left( {C;CA} \right)

  • D.

    BC là tiếp tuyến của \left( {C;CA} \right)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng  cách chứng minh tiếp tuyến

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \left( {O;R} \right) tại tiếp điểm là M ta chứng minh OM \bot d tại MM \in \left( O \right).

Lời giải chi tiết :

+) Xét tam giác ABCB{C^2} = {5^2} = 25;A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25; \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}

\Rightarrow \Delta ABC vuông tại A (định lý Pytago đảo)

\Rightarrow AB \bot ACA \in \left( {C;CA} \right) nên AB là tiếp tuyến của \left( {C;CA} \right)

Câu 16 :

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn \left( O \right) (hình 1 ). Chọn khẳng định sai?

  • A.

    \widehat {BDC} = \widehat {BAC}

  • B.

    \widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ

  • C.

    \widehat {DAB} = \widehat {BAx}

  • D.

    \widehat {BCA} = \widehat {BDA}

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức hai góc cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng 180^\circ

Lời giải chi tiết :

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên

\widehat {BDC} = \widehat {BAC} (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ (tổng hai góc đối bằng 180^\circ )

\widehat {DAB}\widehat {BAx} là hai góc kề bù nhưng \widehat {DAB} \ne 90^\circ nên \widehat {DAB} \ne \widehat {BAx}

\widehat {BCA} = \widehat {BDA} (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Phương án A, B, D đúng

Câu 17 :

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn \left( O \right) . M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM < cung AM). Vẽ MH vuông góc với BC tại H , vẽ MI vuông góc với AC tại I . Chọn câu đúng :

  • A.

    MIHC là hình chữ nhật.

  • B.

    MIHC là hình vuông.

  • C.

    MIHC không là tứ giác nội tiếp.

  • D.

    MIHC là tứ giác nội tiếp.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tứ giác có 4 đỉnh thuộc một đường tròn thì nội tiếp đường tròn đó.

Lời giải chi tiết :

Tam giác MIC có \widehat {MIC} = {90^0} (MI vuông góc với AC) nên là tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Tam giác MHC có \widehat {MHC} = {90^0} (MH vuông góc với BC) nên là tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Suy ra tứ giác IMHC nội tiếp (vì 4 đỉnh I, M, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC) nên đáp án D đúng và đáp án C sai.

Tuy nhiên tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật và hình vuông nên đáp án A, B chưa chính xác.

Câu 18 :

Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50\,\,km/h , rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165\,\,km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC30  phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB.

  • A.

    2 giờ

  • B.

    1,5 giờ

  • C.

    1 giờ

  • D.

    3 giờ

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường ABBC lần lượt là x,y

(x>0;y>0,5 ; đơn vị : giờ). Ta có hệ phương trình :

\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} (TM) \right.

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB1,5 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC2  giờ.

Câu 19 :

Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là

  • A.

    giao của ba đường phân giác góc trong tam giác

  • B.

    giao ba đường trung trực của tam giác

  • C.

    trọng tâm tam giác

  • D.

    trực tâm tam giác

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác các góc trong tam giác.

Câu 20 :

Cho tam giác ABCBC cố định và góc A bằng 50^\circ . Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.

  • A.

    Một cung chứa góc 115^\circ dựng trên đoạn BC.

  • B.

    Một cung chứa góc 115^\circ dựng trên đoạn AC.

  • C.

    Hai cung chứa góc 115^\circ dựng trên đoạn AB.

  • D.

    Hai cung chứa góc 115^\circ dựng trên đoạn BC.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất tia phân giác để tính góc BDC từ đó sử dụng quỹ tích cung chứa góc

Lời giải chi tiết :

Ta có \widehat A = 50^\circ  \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 130^\circ nên \widehat {BDC} + \widehat {DBC} = \dfrac{{130^\circ }}{2} = 65^\circ  \Rightarrow \widehat {BDC} = 115^\circ

Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc 115^\circ  dựng trên đoạn BC.

Câu 21 :

Giá trị của biểu thức  2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}}  - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}}  - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}}

  • A.

    \dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}

  • B.

    \dfrac{{\sqrt {3a} }}{{15}}

  • C.

    \dfrac{{23\sqrt a }}{{15}}

  • D.

    \dfrac{{3\sqrt {3a} }}{{15}}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính

Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức A,BB \ge 0, ta có \sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.

- Sử dụng công thức trục căn thức \sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right).

Lời giải chi tiết :

Ta có 2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}}  - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}}  - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}}  = 2\sqrt {{4^2}.\dfrac{a}{3}}  - 3\sqrt {\dfrac{1}{9}.\dfrac{a}{3}}  - 6\sqrt {\dfrac{4}{{25}}.\dfrac{a}{3}} = 2.4\sqrt {\dfrac{a}{3}}  - 3.\dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{a}{3}}  - 6.\dfrac{2}{5}.\sqrt {\dfrac{a}{3}}

= \sqrt {\dfrac{a}{3}} .\left( {8 - 1 - \dfrac{{12}}{5}} \right) = \dfrac{{23}}{5}\sqrt {\dfrac{a}{3}}  = \dfrac{{23}}{5}.\dfrac{{\sqrt {3a} }}{3} = \dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức: A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right) v ới x > 0;\,\,x \ne 1.

  • A.

    A =  - 2\sqrt x

  • B.

    A = 2\sqrt x

  • C.

    A =  - \sqrt x

  • D.

    A = 4\sqrt x

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right) = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} - \sqrt x {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left[ {x - 2\sqrt x  + 1 - \left( {x + 2\sqrt x  + 1} \right)} \right]}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + 1 - x - 2\sqrt x  - 1}}{2} = \dfrac{{ - 4\sqrt x }}{2} =  - 2\sqrt x .\end{array}

Vậy A =  - 2\sqrt x với x > 0;\,\,x \ne 1.

Câu 23 :

Giải phương trình \sqrt {2{x^2} - 4x + 5}  = x - 2  ta được nghiệm là

  • A.

    x = 1

  • B.

    x = 3

  • C.

    x = 2

  • D.

    Phương trình vô nghiệm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Giải phương trình dạng \sqrt A  = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:

x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.

Ta có: \sqrt {2{x^2} - 4x + 5}  = x - 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}

\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} =  - 1\, (vô nghiệm vì {x^2} \ge 0\,\,\forall x )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 24 :

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y =  - 2x + m + 2y = 5x + 5 - 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

  • A.

    m = 1

  • B.

    m = 0

  • C.

    m =  - 1

  • D.

    m = 2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Để hai đường thẳng {d_1}:y = ax + b{d_2}:y = a'x + b' cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì \left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b = b'\end{array} \right.

Lời giải chi tiết :

Để hai đồ thị hàm số y =  - 2x + m + 2y = 5x + 5 - 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì

\left\{ \begin{array}{l} - 2 \ne 5\\m + 2 = 5 - 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow 3m = 3 \Leftrightarrow m = 1.

Câu 25 :

Cho đường thẳng d:y = 3x - \dfrac{1}{2}. Giao điểm của d với trục tung là

  • A.

    A\left( {\dfrac{1}{6};0} \right)

  • B.

    B\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)

  • C.

    C\left( {0;\dfrac{{ - 1}}{6}} \right)

  • D.

    D\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng theo các bước

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.

Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm.

Lời giải chi tiết :

Giao điểm của đường thẳng d và trục tung có hoành độ x = 0. Thay x = 0 vào phương trình y = 3x - \dfrac{1}{2} ta được y = 3.0 - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2}.

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là D\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)

Câu 26 :

Cho hai đường thẳng d:y = \left( {m + 2} \right)x - md':y =  - 2x - 2m + 1 .Với giá trị nào của m thì d \equiv d'?

  • A.

    m =  - 2

  • B.

    m =  - 4

  • C.

    m = 2

  • D.

    Không có m thỏa mãn

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right).

+) d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.

+) d cắt d' \Leftrightarrow a \ne a'.

+) d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right..

+) d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1.

Lời giải chi tiết :

+) Ta thấy d:y = \left( {m + 2} \right)x - ma = m + 2d':y =  - 2x - 2m + 1a' =  - 2 .

+) Điều kiện để y = \left( {m + 2} \right)x - m là hàm số bậc nhất m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2

+) Để d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 =  - 2\\ - m =  - 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 4\\m = 1\end{array} \right. (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của m để  d \equiv d'.

Câu 27 :

Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - y = a + 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\left( 2 \right)}\end{array}}&{}\end{array}\end{array} \right.

( a là tham số)

Với a \ne 0 hệ có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

  • A.

    a = 1

  • B.

    a =  - 1

  • C.

    a \ne \left\{ { \pm 1} \right\}

  • D.

    a =  \pm 1

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút x từ phương trình dưới thay vào phương trình trên

Bước 2: Tìm y theo phương trình mới, từ đó suy ra x

Bước 3: Từ điều kiện x,y nguyên để tìm a.

Lời giải chi tiết :

Từ PT \left( 1 \right) ta có: y = \left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right) (*) thế vào PT \left( 2 \right) ta được: x + \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x + \left( {{a^2} - 1} \right)x - \left( {{a^2} - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {a^2}x = {a^2} + 1 \,\,\,\,  (3)

Với a \ne 0 , phương trình \left( 3 \right) có nghiệm duy nhất x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} . Thay vào \left( * \right) ta có:

y = \left( {a + 1} \right)\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \left( {a + 1} \right) = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - {a^2}\left( {a + 1} \right)}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^3} + a + {a^2} + 1 - {a^3} - {a^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}};\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}} \right)

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \mathbb{Z}}\\{y \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}}\\{\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)}\end{array}

Điều kiện cần: x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}

\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z} mà  a^2 > 0

\Rightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1 (TM a \ne 0)

Điều kiện đủ:

a =  - 1 \Rightarrow y = 0 \in \mathbb{Z} (nhận)

a = 1 \Rightarrow y = 2 \in \mathbb{Z} (nhận)

Vậy a =  \pm 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Câu 28 :

Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 12\% , xí nghiệp 2  vượt mức 10\% , do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch

  • A.

    160 dụng cụ

  • B.

    200 dụng cụ.

  • C.

    120 dụng cụ.

  • D.

    240 dụng cụ.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt là : x,y,

(x,y \in {N^*} x,y < 360, dụng cụ).

Số dụng cụ xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 làm được khi vượt mức lần lượt là 112\% x110\% y ( dụng cụ).

Ta có hệ phương trình : \left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right..

Vậy xí nghiệp 1  phải làm 200 dụng cụ, xí nghiệp 2 phải làm 160 dụng cụ.

Câu 29 :

Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng \dfrac{4}{5} số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên giá thứ hai.

  • A.

    150 cuốn

  • B.

    300 cuốn

  • C.

    200 cuốn

  • D.

    250 cuốn

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Gọi số sách trên hai giá lần lượt là x,y

( 0 < x,y < 450, cuốn ).

hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình x + y = 450 (cuốn)

Nếu chuyển 50  cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng \dfrac{4}{5} số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)

Suy ra  hệ phương trình : \left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\end{array} \right. hay \left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\\dfrac{4}{5}x - y = 90\end{array} \right.

Giải hệ phương trình, ta được \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\end{array} \right. (thỏa mãn)

Vậy số sách trên giá thứ nhất là 300 cuốn, số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn.

Câu 30 :

Lập phương trình nhận hai số 3 - \sqrt 5 3 + \sqrt 5 làm nghiệm.

  • A.

    {x^2} - 6x - 4 = 0

  • B.

    {x^2} - 6x + 4 = 0

  • C.

    {x^2} + 6x + 4 = 0

  • D.

    - {x^2} - 6x + 4 = 0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tổng S và tích P của hai nghiệm.

Bước 2: Hai số đó là hai nghiệm của phương trình {x^2} - Sx + P = 0 (ĐK: {S^2} - 4P \ge 0)

Lời giải chi tiết :

Ta có S = 3 - \sqrt 5  + 3 + \sqrt 5  = 6P = \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 4

{S^2} - 4P = 36 - 16 = 20 > 0 nên hai số 3 - \sqrt 5 3 + \sqrt 5 là nghiệm của phương trình {x^2} - 6x + 4 = 0.

Câu 31 :

Tìm giá trị của m để phương trình {x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 c ó hai nghiệm {x_1},{x_2} và biểu thức A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A.

    m = 1

  • B.

    m = 0

  • C.

    m = 2

  • D.

    m = 3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right..

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình {x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0a = 1 \ne 0\Delta  = {\left( {4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} + 33 > 0;\forall m

Nên phương trình  luôn có hai nghiệm  phân biệt {x_1},{x_2}.

Theo hệ thức Vi-ét ta có \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 8\end{array} \right.

Xét A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} + 33 \ge 33

Dấu “=” xảy ra khi m = 0

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Câu 32 :

Tìm tham số m để đường thẳng d:y = mx + 2 cắt  parabol  \left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}  tại hai điểm phân biệt

  • A.

    m = 2

  • B.

    m =  - 2

  • C.

    m = 4

  • D.

    m \in \mathbb{R}

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Bước 2: Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm \dfrac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\Delta ' = {m^2} + 4

\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m nên đường thẳng d:y = mx + 2 cắt  parabol  \left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}  tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Câu 33 :

Cho hai đường tròn  \left( O \right);\left( {O'} \right) cắt nhau tại A,B, trong đó O' \in \left( O \right). Kẻ đường kính O'OC của đường tròn \left( O \right). Chọn khẳng định sai ?

  • A.

    AC = CB

  • B.

    \widehat {CBO'} = 90^\circ

  • C.

    CA,CB là hai tiếp tuyến của \left( {O'} \right)

  • D.

    CA,CB là hai cát tuyến của \left( {O'} \right)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn \left( O \right)O'C là đường kính, suy ra \widehat {CBO'} = \widehat {CAO'} = 90^\circ hay CB \bot O'B tại BAC \bot AO' tại A.

Do đó AB,BC là hai tiếp tuyến của \left( {O'} \right) nên AC = CB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên A, B, C đúng.

Câu 34 :

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và  BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC.

  • A.

    Nửa đường tròn đường kính BD .

  • B.

    Cung BC của đường tròn đường kính BD.

  • C.

    Cung BC của đường tròn đường kính BD trừ điểm B,C .

  • D.

    Đường tròn đường kính BD .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng : Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Lời giải chi tiết :

Ta có \Delta DEC = \Delta BFC\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {EDC} = \widehat {EBM} \Rightarrow \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = \widehat {EBM} + \widehat {BEM} \Rightarrow \widehat {EMB} = 90^\circ

Hay \widehat {BMD} = 90^\circ nên M thuộc đườngtròn đường kính BD . Mà E \in BC nên quỹ tích của điểm M là cung BC của đường tròn đường kính BD .

Câu 35 :

Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm D nằm giữa AB . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là FG. Khi đó, kết luận không đúng là:

  • A.

    \Delta ABC\backsim\Delta EBD.

  • B.

    Tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.

  • C.

    Tứ giác AFBC không là tứ giác nội tiếp.

  • D.

    Các đường thẳng AC,DEBF đồng quy.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Lời giải chi tiết :

+) Xét đường tròn đường kính BD có góc BED là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \widehat {BED} = {90^0}.

Xét \Delta ABC\Delta BED ta có: \widehat {DBE}\;\;chung\widehat {BAC} = \widehat {BED} = {90^0} suy ra \Delta ABC\backsim\Delta EBD\;\left( {g - g} \right)

Vậy A đúng.

+) Do tam giác ADC vuông tại A (\widehat {DAC} = 90^0) và tam giác DEC vuông tại E (\widehat {DEC} = 90^0) nên tam giác ADC và tam giác DEC nội tiếp đường tròn đường kính DC.

Do đó tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp. Vậy B đúng.

+) Chứng minh tương tự ta được tứ giác AFBC là tứ giác nội tiếp. Vậy C sai.

+) Gọi giao điểm của BFACH .

Xét tam giác BHC có hai đường cao CFBA cắt nhau tại D. Do đó D là trực tâm của tam giác BHC

DE = \bot AB nên DE là đường cao của tam giác BHC hay H,E,D thẳng hàng.

Suy ra DE,ACBF đồng quy tại H suy ra D đúng.

Câu 36 :

Cho \Delta ABC vuông ở A . Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC . Kẻ BM cắt đường tròn tại D . Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

  • A.

    Tứ giác ABCD nội tiếp.

  • B.

    \widehat {ABD} = \widehat {ACD}

  • C.

    CA là phân giác của \widehat {SCB}.

  • D.

    Tứ giác ABCS nội tiếp.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng {180^0}.

+) Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc \alpha .

+) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm, điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

+) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.

Lời giải chi tiết :

+) Ta có: \widehat {MDC} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC \Rightarrow \widehat {MDC} = {90^0} (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác ABCD ta có:

Góc BAC và góc BDC cùng nhìn đoạn BC dưới góc {90^0}.

\Rightarrow ABCD là tứ giác nội tiếp (dhnb) \Rightarrow phương án A đúng.

+) Xét tứ giác ABCD nội tiếp ta có\widehat {ABD} = \widehat {ACD} (cùng nhìn đoạn AD ) \Rightarrow phương án B đúng.

+) Xét đường tròn đường kính MC ta có 4  điểm M,C,D,S cùng thuộc đường tròn.

\Rightarrow Tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp.

\Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {SCM} (góc ngoài tại 1  đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). \left( 1 \right)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ADB} (cùng nhìn đoạnAB )    \left( 2 \right)

Từ \left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {ACS}\;\;\;\left( { = \widehat {ADB}} \right).

Hay CA là phân giác của \widehat {SCB} \Rightarrow phương án C đúng.

+) Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp \Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {BCA} (hai góc cùng nhìn đoạn AB ).

\widehat {ACB} = \widehat {BDA};\;\;\;\widehat {BAD} \ne \widehat {BSA} (xét trong đường tròn đường kính CM )

\Rightarrow \widehat {ASB} \ne \widehat {BCA} \Rightarrow tứ giác ABCS không là tứ giác nội tiếp \Rightarrow phương án D sai.

Câu 37 :

Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh AB = 5\,\,cm , \widehat B = {60^ \circ }. Đường tròn tâm I , đường kính AB cắt BCD . Chọn khẳng định sai?

  • A.

    Độ dài cung nhỏ BD của \left( I \right)\dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {cm} \right)

  • B.

    AD \bot BC

  • C.

    D thuộc đường tròn đường kính AC

  • D.

    Độ dài cung nhỏ BD của \left( I \right)\dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {cm} \right)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng  góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90^\circ

+ Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:

Trên đường tròn bán kínhR , độ dài l của một cung n^\circ được tính theo công thức l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,.

Lời giải chi tiết :

+ Xét đường tròn \left( I \right) đường kính AB\widehat {ADB} = 90^\circ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AD \bot BC \Rightarrow phương án B đúng.

+) Gọi K là trung điểm của AC \Rightarrow KA = KC = KD \Rightarrow K đường tròn đường kính AC \Rightarrow phương án C đúng.

+) Ta có \Delta IBD cân tại I\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta IBD đều nên \widehat {BID} = 60^\circ

Độ dài cung nhỏ BD của \left( I \right)l = \dfrac{{\pi .\dfrac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\,\left( {cm} \right) \Rightarrow phương án D đúng.

Câu 38 :

Cho hình chữ nhật ABCDAB = 4\,cm;AD = 3\,cm . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD , N là trung điểm BC .

  • A.

    25\pi

  • B.

    \dfrac{{25\pi }}{8}

  • C.

    25

  • D.

    \dfrac{{25\pi }}{4}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Công thức diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2}

Lời giải chi tiết :

Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = \dfrac{{AC}}{2}

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25

suy ra AC = 5 (vì AB = DC = 4\,cm )

Do đó R = \dfrac{5}{2}

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD , N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = \dfrac{5}{2}

Diện tích mặt cầu là:

S = 4\pi {R^2} = 4.\pi {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = 25\pi \left( {cm} \right) .

Câu 39 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C.

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    - 1

  • D.

    2

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}

\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;

\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}

Vậy A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;

= \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1

= \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0  (vì theo định lý Pytago thì A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}  )

Câu 40 :

Cho đoạn thẳng AB = 2a  và trung điểm O  của nó. Trên nửa mặt phẳng bờ AB  vẽ các tia Ax,By\;  vuông góc với AB.  Qua O  vẽ một tia cắt tia Ax  tại M  sao cho \widehat {AOM} = \alpha  < {90^0} . Qua O  vẽ tia thứ hai cắt tia By  tại N  sao cho \widehat {MON} = 90^\circ . Khi đó, diện tích tam giác MON

  • A.

    \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}

  • B.

    \dfrac{{{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}

  • C.

    \dfrac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}

  • D.

    \dfrac{{2{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: AB = 2a \Rightarrow OA = OB = a

Ta có: \widehat {ONB} = \widehat {AOM} = \alpha (cùng phụ với \widehat {BON} )

Xét \Delta AOM\widehat A = 90^\circ Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

OA = OM.\cos \alpha  \Rightarrow OM = \dfrac{a}{{\cos \alpha }} Xét \Delta BON\widehat B = 90^\circ Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

OB = ON.\sin \alpha  \Rightarrow ON = \dfrac{a}{{\sin \alpha }} Vậy diện tích tam giác MON  là: \dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\cos \alpha }}.\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}


Cùng chủ đề:

Đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 - Đề số 29
Đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 - Đề số 30
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 1
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 2
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 3
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 4
Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 5
Đề ôn tập học kì 2 toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề ôn tập học kì 2 toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề thi giữa kì 2 môn Toán 9 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề thi giữa kì 2 môn Toán 9 có đáp án và lời giải chi tiết