Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 1 — Không quảng cáo

Chứng minh tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính AD nên là tứ giác nội tiếp.

Ta có $\Delta BCD$ là tam giác đều nên $\widehat {DCB} = {60^0}\,\,\left( 1 \right).$

Mặt khác $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {120^0}$. Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng ${180^0}$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0}$ nên $\widehat {ACB} = {30^0}\,\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $\widehat {ACD} = \widehat {DCB} + \widehat {BCA} = {60^0} + {30^0} = {90^0}$.

Tam giác ACD có $\widehat {ACD} = {90^0}$ nên nội tiếp đường tròn đường kính AD. (3)

Chứng minh tương tự ta có $\widehat {ABD} = {90^0}$.

Tam giác ABD có $\widehat {ABD} = {90^0}$ nên nội tiếp đường tròn đường kính AD. (4)

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra tứ giác $ABDC$ là tứ giác nội tiếp (vì bốn đỉnh A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD).

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dàicủa hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

Dựa vào kiến thức về hệ thức Viète

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

- ĐTHS cắt trục hoành thì cho $y=0$ từ đó tìm được $x,$ ĐTHS cắt trục tung thì cho $x=0$ từ đó tìm được $y.$

- So sánh với đề bài để tìm ra biểu thức cần điền vào chỗ trống.

Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục hoành $\Rightarrow y = 0 \Rightarrow {\rm{ax}} + b = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{b}{a}$

ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục tung $\Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = {\rm{a}}{\rm{.0}} + b \Rightarrow y = b$

Vậy đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b\,(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\dfrac{b}{a}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$.

- Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua 2 điểm cho trước $A;B$.

- Để $3$ điểm $A;B;C$ thẳng hàng thì $C \in (d)$

Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng đi qua $A$ và $B$.

$\begin{array}{l}A(0;3) \in d \Leftrightarrow a.0 + b = 3 \Leftrightarrow b = 3\\B(2;2) \in d \Leftrightarrow a.2 + b = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow d:y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\end{array}$

Để $3$  điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $C(m + 3;m) \in (d):y =  - \dfrac{1}{2}x + 3$

$\Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{2}\left( {m + 3} \right) + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $m = 1$.

Hình có trục đối xứng là hình khi lấy đối xứng hình đó qua trục đối xứng ta cũng được chính hình đó.

Đường tròn có trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm của nó. Do có vô số đường kính nên đường tròn có vô số trục đối xứng.

Từ phương trình thứ nhất, ta có: $x = y + 5$

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

$3.\left( {y + 5} \right) + 2y = 18\\3y + 15 + 2y = 18\\5y = 3\\y = \dfrac{3}{5}$

Thay vào $x = y + 5$, ta được: $x = \dfrac{3}{5}+ 5 = \dfrac{28}{5}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{28}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$

Suy ra $x.y = \dfrac{28}{5}.\dfrac{3}{5} = \dfrac{84}{25}$

- Tìm tọa độ giao điểm 2  đường thẳng cho trước $d';d''$

- Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d$.

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):y = ax + b$$\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $A$ của $\left( {d'} \right)$  và $\left( {d''} \right)$:

$\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 =  - 3x - 1}\\{ \Leftrightarrow 5x =  - 5}\\{ \Leftrightarrow x =  - 1}\\{ \Rightarrow y = 2\left( { - 1} \right) + 4 = 2}\\{ \Rightarrow A\left( { - 1;2} \right)}\end{array}$

Để $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy thì $A\left( { - 1;2} \right) \in \left( d \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 2 = \left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 3m}\\{ \Leftrightarrow 2 =  - 2 - 4m}\\{ \Leftrightarrow 4m =  - 4}\\{ \Leftrightarrow m =  - 1}\end{array}$

Vậy khi $m =  - 1$ thì $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$  đồng quy tại $A\left( { - 1;2} \right)$.

Giải phương trình dạng $\sqrt A  = \sqrt B$

ĐK: $A \ge 0$  (hoặc $B \ge 0$ )

Khi đó $\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow A = B$

So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Điều kiện:  $x \ge 5$

Ta có $\sqrt {x - 5}  = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}$$\Leftrightarrow x - 5 = 3 - x \Leftrightarrow x + x = 3 + 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {KTM} \right)$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta  = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo định lí Viète, ta có ${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{{ - 6}}{1} = 6$

Sử dụng  tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Vì $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$ nên $\Delta OAO'$ vuông tại $A$.

Vì $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ nên đường nối tâm $OO'$ là trung trực của đoạn $AB$.

Gọi giao điểm của $AB$ và $OO'$ là $I$ thì $AB \bot OO'$ tại $I$ là trung điểm của $AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAO'$ ta có

$\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O'{A^2}}} = \dfrac{1}{{{8^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} \Rightarrow AI = 4,8\,cm \Rightarrow AB = 9,6\,cm$

+ Tính $B;C$  bằng cách sử dụng các công thức

Với $A > 0$ và $A \ne {B^2}$ thì $\dfrac{C}{{\sqrt A  \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A  \mp B)}}{{A - {B^2}}}$

Khai phương một tích: $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B {\rm{   }}(A \ge 0,B \ge 0)$

+ So sánh $B;C.$

Ta có $B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3  - 1}}$

$= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}}$ $= \sqrt 2 + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{1} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$

$= \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 2  - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)$

$= \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 2  - \sqrt 3  - 1$

$= 2\sqrt 2  - 1$

Lại có

$\begin{array}{l}C = (2\sqrt 3  - 5\sqrt {27}  + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 \\  = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {9.3} + 4\sqrt {4.3} } \right):\sqrt 3 \\= (2\sqrt 3  - 5.3\sqrt 3  + 4.2\sqrt 3 ):\sqrt 3 \\ =  - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 \\ =  - 5\end{array}$

Nhận thấy $B = 2\sqrt 2  - 1 > 0;\,C =  - 5 < 0 \Rightarrow B > C$

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Xét nửa $\left( O \right)$ có $\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{BC}$ (góc nội tiếp chắn cung BC) và $\widehat {CDA} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AC} -$ sđ $\overparen{BC}$ ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

Mà $\Delta ADC$ cân tại $C$ nên $\widehat {DAC} = \widehat {CDA} \Leftrightarrow$ sđ $\overparen{BC} =$ sđ $\overparen{AC} -$ sđ $\overparen{BC}$

Suy ra sđ $\overparen{AC} = 2$. sđ $\overparen{BC}$

Mà sđ $\overparen{AC} +$ sđ $\overparen{BC} = 180^\circ$ nên sđ $\overparen{AC} = 120^\circ$ ; sđ$\overparen{BC}= 60^\circ$

Do đó $\widehat {ADC} = 30^\circ$.

+ Tìm điều kiện

+ Giải phương trình dạng $\sqrt A  = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}$

Điều kiện:

$x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.$

Ta có: $\sqrt {2{x^2} - 4x + 5}  = x - 2$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} =  - 1\,$ (vô nghiệm vì ${x^2} \ge 0\,\,\forall x$ )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Sử dụng kiến thức:

+) Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$$\Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$.

+) Từ đó tìm $a;b$.

Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$

$M$ thuộc $d \Leftrightarrow  - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\,\,\,(1)$

$N$ thuộc $d \Leftrightarrow 1.a + b =  - 1 \Rightarrow b = - 1 - a \,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $2 + 3a = - 1 - a \Leftrightarrow 4a = - 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4}$$\Rightarrow b = 2 + 3a = - \dfrac{1}{4}$

Nên $a = \dfrac{{ - 3}}{4};b =  - \dfrac{1}{4}$.

Vậy $d:y =  - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$.

Bước 1: Sử dụng: đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ để có được hai phương trình ẩn $m$ và $n$.

Bước 2: Giải hệ hai phương trình ẩn  $m$ và $n$ bằng phương pháp thế để tìm $m$ và $n$. Từ đó suy ra tích $m.n$

+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_1}$ ta được $m.\left( { - 2} \right) - 2\left( {3n + 2} \right).3 = 6$

$- 2m - 18n = 18$

$m + 9n =  - 9$

+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_2}$ ta được $\left( {3m - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 2n.3 = 56$

$- 6m + 2 + 6n = 56$

$m - n =  - 9$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m + 9n =  - 9\\m - n =  - 9\end{array} \right.$

Thế m theo n vào phương trình thứ hai, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}m =  - 9 + n\\ - 9 + n + 9n =  - 9\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}m =  - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m =  - 9\end{array} \right.$

$m.n = 0.$

Vậy $m.n = 0$.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$

Thay $x = 1;y =  - 2$ vào hệ ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) =  - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 2b =  - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a =  - \dfrac{1}{8}\end{array} \right.$

$a - b =  - \dfrac{{13}}{8}$

Vậy $a - b =  - \dfrac{{13}}{8}$.

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\4\sqrt x  + 2\sqrt y  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.$

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}6x + 39y = 297\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 6x + y =  - 17\\40y = 280\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x =  4\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {  4;7} \right)$

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left( {x,y} \right)$ theo tham số $m$

Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm $m$

Từ $\left( {m - 1} \right)x + y = 2$ thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

$mx + 2-\left( {m - 1} \right)x = m + 1 \Leftrightarrow x = m-1$ suy ra $y = 2-{\left( {m - 1} \right)^2}$ với mọi $m$

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {m - 1;2-{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \right)$

$2x + {\rm{ }}y = 2\left( {m - 1} \right) + 2-{\left( {m - 1} \right)^2} =  - {m^2} + 4m - 1$

$= 3-{\left( {m - 2} \right)^2} \le 3$ với mọi $m$.

Giải bài toán công việc (vòi nước)  bằng cách lập hệ phương trình

Chúng ta vẫn sử dụng cách làm như bài toán làm chung công việc và coi bể nước là một công việc.

Gọi thời gian  vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là $x,y\,\,\left( {x,y > \dfrac{{24}}{5}} \right)$ (đơn vị: giờ)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể), vòi II chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể nên cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ bể

Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$  giờ $48$  phút $\left( { = \dfrac{{24}}{5}h} \right)$ bể đầy nên ta có phương trình

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}$

Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy  riêng trong $3$  giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể nên ta có phương trình $\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\end{array} \right.$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{5}{8}\end{array} \right.$

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8}$ suy ra $\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}$

Suy ra $x = 8,y = 12$ (Thỏa mãn)

Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là $8\,\,h$.

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ lần lượt là : $x,y$,

($x,y \in {N^*}$ $x,y < 360$, dụng cụ).

Số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ làm được khi vượt mức lần lượt là $112\% x$ và $110\% y$ ( dụng cụ).

Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.$.

Vậy xí nghiệp $1$  phải làm $200$ dụng cụ, xí nghiệp $2$ phải làm $160$ dụng cụ.

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó phương trình có hai nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.$.

Phương trình $m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0$$\left( {a = m;b =  - 2\left( {m - 2} \right);c = 3\left( {m - 2} \right)} \right)$

Ta có $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) =  - 2{m^2} + 2m + 4 = \left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right)$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\\dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow  - 1 < m < 0$

Vậy $- 1 < m < 0$ là giá trị cần tìm.

Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho

Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng

Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} =  - 1;{x_2} =  - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne  - 1;x \ne 14$

Ta có $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$\Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$

$\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} - 5x + 6}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$\Rightarrow 2{x^2} - 11x + 19 = 0$

Nhận thấy $\Delta = {11^2} - 4.19.2 = - 31 < 0$ nên phương trình $2{x^2} - 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Bước 2: Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4$

Vì $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$ nên đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt  parabol  $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$  tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

+) Nhắc lại : Cát tuyến là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.

+) Sử dụng  Pytago để tính toán.

Xét $\left( O \right)$ có $OB = OC = OD$$\Rightarrow BO = \dfrac{{DC}}{2}$$\Rightarrow \Delta BDC$ vuông tại $B$ (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)

Suy ra $BD \bot AC$.

Xét $\Delta ADC$ có $BD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $\Delta ADC$ cân tại $D \Rightarrow DA = DC = 2R$

Vậy $AD = 2R.$

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tam giác cân

Xét $\left( O \right)$có $IA,IB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $I$ nên $\widehat {AOI} = \widehat {KOI}$

Mà $OA{\rm{//}}KI$ (vì cùng vuông góc với $AI$) nên $\widehat {KIO} = \widehat {IOA}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

Từ đó $\widehat {KOI} = \widehat {KIO}$ suy ra $\Delta KOI$ cân tại $K \Rightarrow KI = KO$.

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Có $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AM$ vuông góc với $OA$

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ nên có $\tan \widehat {AOM} = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3$$\Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}$

Mà hai tiếp tuyến $AM$ và $BM$ cắt nhau tại $M$ nên ta có $OM$ là phân giác của $\widehat {AOB}$

Vậy $\widehat {AOB}$$= 2\widehat {AOM} = {2.60^0} = {120^0}$

Kẻ đường kính $AD$

Chứng minh $\Delta ACH \backsim \Delta ADB\left( {g - g} \right)$

Suy ra $AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}}$

Kẻ đường kính $AD$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ); $\widehat {ABD} = 90^\circ$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $\Delta ACH \backsim \Delta ADB\left( {g - g} \right)$

Suy ra $\dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}$

Do đó $AH.AD = AC.AB$

Suy ra $AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{9.12}}{4} = 27$

Do đó $R = 13,5cm$ .

Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau và suy ra tam giác đồng dạng

Từ đó có hệ thức cần chứng minh.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AB = AC$ )

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$ có $\widehat A$ chung và $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (cmt) nên $\Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AD$

Sử dụng hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung để chứng minh hai góc bằng nhau.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ICB} = \widehat {CAB}$  (hệ quả) mà $\widehat {BFD} = \widehat {BAC}$ (cùng phụ với $\widehat {ABC}$ )

Nên $\widehat {ICF} = \widehat {BFD} \Rightarrow \widehat {ICF} = \widehat {CFI}$ suy ra $\Delta ICF$ cân tại $I \Rightarrow IF = IC$ (*)

Lại có $\widehat {ICE} + \widehat {ICF} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ICE} + \widehat {CAB} = 90^\circ$ mà $\widehat {CAB} + \widehat {AED} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {ECI} \Rightarrow \Delta ICE$ cân tại $I$

Nên $IE = IC$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $IE = IF = \dfrac{{EF}}{2}$ .

Sử dụng  hệ quả về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

Ta có $\widehat {yAB} = \widehat {ACB}$ (hệ quả) mà $\widehat {yAB} = \widehat {ABM}$ (so le trong) nên $\widehat {ACB} = \widehat {ABM} \Rightarrow \Delta AMB\backsim\Delta ABC\left( {g - g} \right)$

$\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AM.AC = A{B^2}$ .

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ${180^0}.$

+) Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha .$

+) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm, điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

+) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.

+) Ta có: $\widehat {MDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $MC$ $\Rightarrow \widehat {MDC} = {90^0}$ (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác $ABCD$ ta có:

Góc $BAC$ và góc $BDC$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới góc ${90^0}.$

$\Rightarrow$ $ABCD$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) $\Rightarrow$ phương án A đúng.

+) Xét tứ giác $ABCD$ nội tiếp ta có$\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ (cùng nhìn đoạn $AD$ )$\Rightarrow$ phương án B đúng.

+) Xét đường tròn đường kính $MC$ ta có $4$  điểm $M,C,D,S$ cùng thuộc đường tròn.

$\Rightarrow$ Tứ giác $MCSD$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {SCM}$ (góc ngoài tại $1$  đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). $\left( 1 \right)$

Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp (cmt) $\Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ADB}$ (cùng nhìn đoạn$AB$ )    $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {ACS}\;\;\;\left( { = \widehat {ADB}} \right).$

Hay $CA$ là phân giác của $\widehat {SCB} \Rightarrow$ phương án C đúng.

+) Giả sử tứ giác $ABCS$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {BCA}$ (hai góc cùng nhìn đoạn $AB$ ).

Mà $\widehat {ACB} = \widehat {BDA};\;\;\;\widehat {BAD} \ne \widehat {BSA}$ (xét trong đường tròn đường kính $CM$ )

$\Rightarrow \widehat {ASB} \ne \widehat {BCA} \Rightarrow$ tứ giác $ABCS$ không là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow$phương án D sai.

* Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ${180^0}.$

+) Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha .$

+) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm, điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

+) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.

* Sử dụng tam giác đồng dạng.

+) Vì $\widehat {NEO} = \widehat {NMO} = 90^\circ  \Rightarrow NEMO$ là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm $O,E,M,N$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow$ Phương án A đúng.

+) $\widehat {NEC} = \widehat {CBE} = \dfrac{1}{2}$ số đo cung $CE \Rightarrow \Delta NEC\backsim\Delta NBE\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{NB}} = \dfrac{{NC}}{{NE}}$ $\Rightarrow NB.NC = N{E^2}$

$\Rightarrow$ Phương án B đúng.

+) Hai tam giác vuông $\Delta NCH\backsim\Delta NMB\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{NC}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NB}}$

$\Rightarrow NC.NB=NH.NM$

Từ đó $\Delta NEH\backsim\Delta NME\left( {c-g -c} \right) \Rightarrow \widehat {NEH} = \widehat {EMN}$ $\Rightarrow$ Phương án C đúng.

+) $\widehat {EMN} = \widehat {EON}$ (tứ giác $NEMO$ nội tiếp) $\Rightarrow \widehat {NEH} = \widehat {NOE}$

Mà góc $ENO$ phụ với góc $EON$ nên góc $ENO$ cũng phụ với góc $NEH$

$\Rightarrow EH \bot NO$

$\Rightarrow \Delta OEF$ cân có $ON$ là phân giác

$\Rightarrow \widehat {EON} = \widehat {NOF} \Rightarrow \widehat {NEF} = \widehat {NOF}$ nên tứ giác $NEOF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat {NFO} = 180^\circ  - \widehat {NEO} = 90^\circ$ .

$\Rightarrow$ Phương án D sai.

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

$A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}}$$= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}$

$= \dfrac{{2x\left( {\sqrt x  + 3} \right) + \left( {5\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 10} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}$

$= \dfrac{{2x\sqrt x  + 6x + 5x + 11\sqrt x  + 2 + x + 11\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}$

$= \dfrac{{2x\sqrt x  + 12x + 22\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}$

$= \dfrac{{2x\sqrt x  + 2x + 10x + 10\sqrt x  + 12\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x  + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}$

Vậy giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$

- Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho

- Dựng đường cao của tam giác được tạo thành

- Tính độ dài các đoạn thẳng

- Tính diện tích tam giác.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1};{d_2}$

$x + 2 =  - 2x + 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow {d_1} \cap {d_2}$ tại $M(1;3)$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ tới $Ox$. Suy ra $MH = 3$

$d \cap Ox$ tại $A( - 2;0) \Rightarrow OA = 2$

$d' \cap Ox$ tại $B\left( {\dfrac{5}{2};0} \right) \Rightarrow OB = \dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow AB = OA+OB=2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}$

${S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.MH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{2}.3 = \dfrac{{27}}{4}\,(dvdt)$

Kẻ $AH \bot BC,\,OI \bot BC$, đường kính $AD.$

Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh $\widehat {ABD} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta AHC$.

Tính độ dài $AH$ từ tính chất hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra điều kiện để diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

Kẻ $AH \bot BC,\,OI \bot BC$, đường kính $AD.$

Ta chứng minh được $\Delta AHC \backsim \Delta ABD\,\left( {g - g} \right).$

Do đó $\dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC$$\Rightarrow AB.AC = 2R.AH\,\,\left( 1 \right).$

Theo giả thiết $\sqrt {AB.AC}  = R\sqrt 3 ,$ nên $AB.AC = 3{R^2}\,\,\left( 2 \right).$

Thay $\left( 2 \right)$ và $\left( 1 \right)$ ta có $AH = \dfrac{{3R}}{2}.$

Lại có $OI + OA \ge AI \ge AH$ nên $OI \ge AH - OA = \dfrac{{3R}}{2} - R = \dfrac{R}{2}.$

Do $AH = \dfrac{{3R}}{2}$ là giá trị không đổi nên ${S_{ABC}}$ lớn nhất khi $BC$ lớn nhất $\Leftrightarrow OI$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow OI = \dfrac{R}{2} \Leftrightarrow BC \bot OA \Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.

Mà $OI = \dfrac{R}{2} \Rightarrow \sin \widehat {OBI}$$= \dfrac{{OI}}{{OB}} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OCI} = {30^0}$$\Rightarrow \widehat {BOC}$$= {120^0}$$\Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}$

Vậy $\Delta ABC$ đều.