Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 2
Đề bài
Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng
-
A.
Số đo cung lớn
-
B.
Số đo của góc ở tâm chắn cung đó
-
C.
Số đo của góc ở tâm chắn cung lớn
-
D.
Số đo của cung nửa đường tròn
Góc ở hình nào dưới đây biểu diễn góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung?

-
A.
Hình 1
-
B.
Hình 2
-
C.
Hình 3
-
D.
Hình 4
Chọn khẳng định đúng.
-
A.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
-
B.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
-
C.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì song song với dây căng cung ấy
-
D.
Trong một đường tròn, hai đường kính luôn vuông góc với nhau
Cho hệ phương trình {2x−3y=14x+y=9 . Nghiệm của hệ phương trình là (x;y) , tính x−y
-
A.
x−y=−1
-
B.
x−y=1
-
C.
x−y=0
-
D.
x−y=2
Cho hai đường tròn (O;8cm) và (O′;6cm) cắt nhau tại A,B sao cho OA là tiếp tuyến của (O′). Độ dài dây AB là
-
A.
AB=8,6cm
-
B.
AB=6,9cm
-
C.
AB=4,8cm
-
D.
AB=9,6cm
Điền vào các vị trí (1);(2) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) :
R |
d |
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
5cm |
4cm |
...............(1)................... |
8cm |
...(2)... |
Tiếp xúc nhau |
-
A.
(1) : cắt nhau ; (2) : 8cm
-
B.
(1) : 9cm; (2) : cắt nhau
-
C.
(1) : không cắt nhau ; (2) : 8cm
-
D.
(1) : cắt nhau ; (2) : 6cm
Cho hai đường thẳng d:y=x+3 và d′:y=−2x. Khi đó
-
A.
d//d′
-
B.
d≡d′
-
C.
d cắt d′
-
D.
d⊥d′
Giá trị của biểu thức √32+√50−3√8−√18 là
-
A.
1
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
3
Đưa thừa số √81(2−y)4 ra ngoài dấu căn ta được ?
-
A.
9(2−y)
-
B.
81(2−y)2
-
C.
9(2−y)2
-
D.
−9(2−y)2
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c. Chọn khẳng định sai ?
-
A.
b=a.sinB=a.cosC
-
B.
a=c.tanB=c.cotC
-
C.
a2=b2+c2
-
D.
c=a.sinC=a.cosB
Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
0
Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao h=12cm và đường kính đáy là d=8cm . Tính diện tích các mặt của hộp sữa. Lấy π≈3,14
-
A.
110π(cm2)
-
B.
128π(cm2)
-
C.
96π(cm2)
-
D.
112π(cm2)
Cho đường thẳng d: y=(m+2)x−5 đi qua điểm A(−1;2) . Hệ số góc của đường thẳng d là
-
A.
1
-
B.
11
-
C.
−7
-
D.
7
Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng ?
-
A.
MN=MP.sinP
-
B.
MN=MP.cosP
-
C.
MN=MP.tanP
-
D.
MN=MP.cotP
Số giao điểm của đường thẳng d:y=2x+4 và parabol (P):y=x2 là:
-
A.
2
-
B.
1
-
C.
0
-
D.
3
Tìm m để phương trình 2mx2−(2m+1)x−3=0 có nghiệm là x=2.
-
A.
m=−54
-
B.
m=14
-
C.
m=54
-
D.
m=−14
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm trên cung nhỏ AB (cung CB nhỏ hơn cung CA ). Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại D . Biết tam giác ADC cân tại C . Tính góc ADC .
-
A.
40∘
-
B.
45∘
-
C.
60∘
-
D.
30∘
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x2−6x+7=0
-
A.
16
-
B.
3
-
C.
6
-
D.
7
Rút gọn biểu thức 5√a−4b√25a3+5a√16ab2−√9a với a≥0;b≥0 ta được kết quả là
-
A.
2√2a
-
B.
4√a
-
C.
8√a
-
D.
2√a
Rút gọn biểu thức 2√a−√9a3+a2√16a+2a2√36a5 với a>0 ta được
-
A.
14√a+a√a
-
B.
14√a−a√a
-
C.
14√a+2a√a
-
D.
20√a−2a√a
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng d:y=(m+2)x−m và d′:y=−2x−2m+1. Với giá trị nào của m thì d cắt d′?
-
A.
m≠−2
-
B.
m≠−4
-
C.
m≠{−2;−4}
-
D.
m≠{2;−4}
Cho hệ phương trình {2x+by=−1bx−2ay=1. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là (1;−2), tính a−b.
-
A.
138
-
B.
−138
-
C.
58
-
D.
−58
Cho hệ phương trình {(m−1)x+y=2mx+y=m+1 ( m là tham số) . Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x;y) của hệ phương trình
-
A.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y≤3
-
B.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y>3
-
C.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y≥3
-
D.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y=3
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 42 m. Đường chéo hình chữ nhật dài 15 m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.
-
A.
10m
-
B.
12m
-
C.
9m
-
D.
8m
Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km . Một lần khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km . Tính vận tốc nước chảy.
-
A.
4km/h
-
B.
3km/h
-
C.
2km/h
-
D.
2,5km/h
Cho phương trình (m−3)x2−2mx+m−6=0. Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm
-
A.
m<−2
-
B.
m<2
-
C.
m<3
-
D.
m<−3
Tìm các giá trị của m để phương trình x2−2(m−3)x+8−4m=0 có hai nghiệm âm phân biệt.
-
A.
m<2 và m≠1
-
B.
m<3
-
C.
m<2
-
D.
m>0
Biết rằng phương trình (m−2)x2−(2m+5)x+m+7=0(m≠2) luôn có nghiệm x1;x2 với mọi m. Tìm x1;x2 theo m.
-
A.
x1=−1;x2=−m+7m−2
-
B.
x1=1;x2=−m+7m−2
-
C.
x1=1;x2=m+7m−2
-
D.
x1=−1;x2=m+7m−2
Số nghiệm của phương trình 3x3+3x2+5x+5=0 là:
-
A.
2
-
B.
0
-
C.
1
-
D.
3
Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường 42km, rồi sau đó ngược dòng trở lại 20km hết tổng cộng 5h. Biến vận tốc của dòng nước chảy là 2km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
-
A.
11(km/h)
-
B.
12(km/h)
-
C.
14(km/h)
-
D.
15(km/h)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
-
A.
DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH
-
B.
DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH
-
C.
Tứ giácAEHD là hình chữ nhật
-
D.
DE⊥DI (với I là trung điểm BH)
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng 1200. Biết chu vi tam giác MAB là 6(3+2√3)cm, tính độ dài dây AB.
-
A.
18cm
-
B.
6√3cm
-
C.
12√3cm
-
D.
15cm
Cho hai đường tròn (O;20cm) và (O′;15cm) cắt nhau tại A vàB. Tính đoạn nối tâm OO′, biết rằngAB=24cm và O và O′ nằm cùng phía đối với AB .
-
A.
OO′=7cm
-
B.
OO′=8cm
-
C.
OO′=9cm
-
D.
OO′=25cm
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB,AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Khi đó AB2 bằng
-
A.
AD.AE
-
B.
AD.AC
-
C.
AE.BE
-
D.
AD.BD
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) . Kẻ tiếp tuyến xAy với (O) . Từ B kẻ BM//xy(M∈AC) . Khi đó tích AM.AC bằng
-
A.
AB2
-
B.
BC2
-
C.
AC2
-
D.
AM2
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. Khẳng định nào đúng ?
-
A.
Tứ giác BIHK nội tiếp.
-
B.
Tứ giác BIHK không nội tiếp.
-
C.
Tứ giác BIHK là hình chữ nhật.
-
D.
Các đáp án trên đều sai.
Cho ΔABC vuông ở A . Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC . Kẻ BM cắt đường tròn tại D . Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
-
A.
Tứ giác ABCD nội tiếp.
-
B.
^ABD=^ACD
-
C.
CA là phân giác của ^SCB.
-
D.
Tứ giác ABCS nội tiếp.
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 4π. Diện tích của tam giác đều ABC là:
-
A.
27√3 cm2
-
B.
7√3 cm2
-
C.
29√3 cm2
-
D.
9√3 cm2
Lời giải và đáp án
Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng
-
A.
Số đo cung lớn
-
B.
Số đo của góc ở tâm chắn cung đó
-
C.
Số đo của góc ở tâm chắn cung lớn
-
D.
Số đo của cung nửa đường tròn
Đáp án : B
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Góc ở hình nào dưới đây biểu diễn góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung?

-
A.
Hình 1
-
B.
Hình 2
-
C.
Hình 3
-
D.
Hình 4
Đáp án : A
Cho đường tròn tâm (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AB. Khi đó, góc BAxlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Chọn khẳng định đúng.
-
A.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
-
B.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
-
C.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì song song với dây căng cung ấy
-
D.
Trong một đường tròn, hai đường kính luôn vuông góc với nhau
Đáp án : A
+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Cho hệ phương trình {2x−3y=14x+y=9 . Nghiệm của hệ phương trình là (x;y) , tính x−y
-
A.
x−y=−1
-
B.
x−y=1
-
C.
x−y=0
-
D.
x−y=2
Đáp án : B
Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 để được phương trình mới có hệ số của biến đối nhau.
Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ.
Ta có
{2x−3y=14x+y=9
{2x−3y=112x+3y=27
{2x−3y=12x−3y+12x+3y=1+27
{2x−3y=114x=28
{x=2y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;1)
⇒x−y=2−1=1 .
Cho hai đường tròn (O;8cm) và (O′;6cm) cắt nhau tại A,B sao cho OA là tiếp tuyến của (O′). Độ dài dây AB là
-
A.
AB=8,6cm
-
B.
AB=6,9cm
-
C.
AB=4,8cm
-
D.
AB=9,6cm
Đáp án : D
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Vì OA là tiếp tuyến của (O′) nên ΔOAO′ vuông tại A.
Vì (O) và (O′) cắt nhau tại A,B nên đường nối tâm OO′ là trung trực của đoạn AB.
Gọi giao điểm của AB và OO′ là I thì AB⊥OO′ tại I là trung điểm của AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO′ ta có
1AI2=1OA2+1O′A2=182+162⇒AI=4,8cm⇒AB=9,6cm
Điền vào các vị trí (1);(2) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) :
R |
d |
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
5cm |
4cm |
...............(1)................... |
8cm |
...(2)... |
Tiếp xúc nhau |
-
A.
(1) : cắt nhau ; (2) : 8cm
-
B.
(1) : 9cm; (2) : cắt nhau
-
C.
(1) : không cắt nhau ; (2) : 8cm
-
D.
(1) : cắt nhau ; (2) : 6cm
Đáp án : A
Sử dụng bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
Số điểm chung |
Hệ thức giữa d và R |
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau |
2 |
d<R |
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau |
1 |
d=R |
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau |
0 |
d>R |
+) Vì d<R(4cm<5cm) nên đường thẳng cắt đường tròn
+) Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d=R=8cm
Cho hai đường thẳng d:y=x+3 và d′:y=−2x. Khi đó
-
A.
d//d′
-
B.
d≡d′
-
C.
d cắt d′
-
D.
d⊥d′
Đáp án : C
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d:y=ax+b(a≠0) và d′:y=a′x+b′(a′≠0).
+) d//d′⇔{a=a′b≠b′
+) dcắtd′⇔a≠a′.
+) d≡d′⇔{a=a′b=b′.
+) d⊥d′⇔a.a′=−1.
Ta thấy d:y=x+3 có a=1 và d′:y=−2x có a′=−2⇒a≠a′(1≠−2) nên d cắt d′.
Giá trị của biểu thức √32+√50−3√8−√18 là
-
A.
1
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
3
Đáp án : B
-Sử dụng công thức khai phương một tích √AB=√A.√B,(A,B≥0) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).
-Cộng trừ các căn thức
√32+√50−3√8−√18=√16.2+√25.2−3√4.2−√9.2
=4√2+5√2−6√2−3√2=0
Đưa thừa số √81(2−y)4 ra ngoài dấu căn ta được ?
-
A.
9(2−y)
-
B.
81(2−y)2
-
C.
9(2−y)2
-
D.
−9(2−y)2
Đáp án : C
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức A,B mà B≥0, ta có √A2B=|A|√B={A√BkhiA≥0−A√BkhiA<0
Ta có √81(2−y)4=√81.[(2−y)2]2=|(2−y)2|√81=9(2−y)2
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c. Chọn khẳng định sai ?
-
A.
b=a.sinB=a.cosC
-
B.
a=c.tanB=c.cotC
-
C.
a2=b2+c2
-
D.
c=a.sinC=a.cosB
Đáp án : B
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c. Ta có :
+) Theo định lý Py-ta-go ta có a2=b2+c2 nên C đúng
+) Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có
b=a.sinB=a.cosC; c=a.sinC=a.cosB; b=c.tanB=c.cotC; c=b.tanC=b.cotB.
Nên A,D đúng.
Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
0
Đáp án : A
Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao h=12cm và đường kính đáy là d=8cm . Tính diện tích các mặt của hộp sữa. Lấy π≈3,14
-
A.
110π(cm2)
-
B.
128π(cm2)
-
C.
96π(cm2)
-
D.
112π(cm2)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ Sxq=2πRh và diện tích một đáy Sd=πR2.
Bán kính đường tròn đáy R=82=4cm nên diện tích một đáy Sd=πR2=16π(cm2)
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq=2πRh=2π.4.12=96π(cm2)
Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích các mặt của hộp sữa là:
96π+16π=112π(cm2).
Cho đường thẳng d: y=(m+2)x−5 đi qua điểm A(−1;2) . Hệ số góc của đường thẳng d là
-
A.
1
-
B.
11
-
C.
−7
-
D.
7
Đáp án : C
Bước 1: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d để tìm m và đưa phương trình về dạng y=ax+b .
Bước 2: Sử dụng lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.
Đường thẳng d có phương trình y=ax+b(a≠0) có a là hệ số góc.
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được (m+2).(−1)−5=2⇔−m−2=7⇔m=−9
Suy ra d:y=−7x−5
Hệ số góc của đường thẳng d là k=−7 .
Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng ?
-
A.
MN=MP.sinP
-
B.
MN=MP.cosP
-
C.
MN=MP.tanP
-
D.
MN=MP.cotP
Đáp án : A

Ta có sinP=MNMP⇒MN=MP.sinP.
Số giao điểm của đường thẳng d:y=2x+4 và parabol (P):y=x2 là:
-
A.
2
-
B.
1
-
C.
0
-
D.
3
Đáp án : A
Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.
Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol
Xét phương trình hoành độ giao điểm x2=2x+4⇔x2−2x−4=0 có Δ′=5>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
Tìm m để phương trình 2mx2−(2m+1)x−3=0 có nghiệm là x=2.
-
A.
m=−54
-
B.
m=14
-
C.
m=54
-
D.
m=−14
Đáp án : C
Thay x=x0 vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn m. Giải phương trình ta tìm được m.
Thay x=2 vào phương trình 2mx2−(2m+1)x−3=0 ta được:
2m.22−(2m+1).2−3=0
4m−5=0
m=54
Vậy m=54 là giá trị cần tìm.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm trên cung nhỏ AB (cung CB nhỏ hơn cung CA ). Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại D . Biết tam giác ADC cân tại C . Tính góc ADC .
-
A.
40∘
-
B.
45∘
-
C.
60∘
-
D.
30∘
Đáp án : D
Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Xét nửa (O) có ^BAC=12 sđ BC⏜ (góc nội tiếp chắn cung BC) và \widehat {CDA} = \dfrac{1}{2} (sđ \overparen{AC} - sđ \overparen{BC} ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Mà \Delta ADC cân tại C nên \widehat {DAC} = \widehat {CDA} \Leftrightarrow sđ \overparen{BC} = sđ \overparen{AC} - sđ \overparen{BC}
Suy ra sđ \overparen{AC} = 2. sđ \overparen{BC}
Mà sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BC} = 180^\circ nên sđ \overparen{AC} = 120^\circ ; sđ\overparen{BC}= 60^\circ
Do đó \widehat {ADC} = 30^\circ .
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình {x^2} - 6x + 7 = 0
-
A.
\dfrac{1}{6}
-
B.
3
-
C.
6
-
D.
7
Đáp án : C
Nếu {x_1},{x_2} là hai nghiệm của phương trình a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0) thì \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..
Phương trình {x^2} - 6x + 7 = 0 có \Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai nghiệm {x_1};{x_2}
Theo định lí Viète, ta có {x_1} + {x_2} = - \dfrac{{ - 6}}{1} = 6
Rút gọn biểu thức 5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} với a \ge 0;b \ge 0 ta được kết quả là
-
A.
2\sqrt {2a}
-
B.
4\sqrt a
-
C.
8\sqrt a
-
D.
2\sqrt a
Đáp án : D
Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} với A \ge 0 và B \ge 0
+) A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} với A < 0 và B \ge 0
Công thức khai phương một tích
\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)
Ta có 5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} = 5\sqrt a - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}} - \sqrt 9 .\sqrt a
= 5\sqrt a - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}} - 3\sqrt a = \left( {5\sqrt a - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}} - 5.4\sqrt {{a^3}{b^2}} } \right) = 2\sqrt a
Rút gọn biểu thức 2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} với a > 0 ta được
-
A.
14\sqrt a + a\sqrt a
-
B.
14\sqrt a - a\sqrt a
-
C.
14\sqrt a + 2a\sqrt a
-
D.
20\sqrt a - 2a\sqrt a
Đáp án : A
-Sử dụng công thức khai phương một thương \sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} với A \ge 0,B > 0 và công thức khai phương một tích \sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)
-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)
-Sử dụng hằng đẳng thức \sqrt {{A^2}} = \left| A \right|
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
Với a>0 ta có 2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a}
= 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng d:y = \left( {m + 2} \right)x - m và d':y = - 2x - 2m + 1. Với giá trị nào của m thì d cắt d'?
-
A.
m \ne - 2
-
B.
m \ne - 4
-
C.
m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}
-
D.
m \ne \left\{ {2; - 4} \right\}
Đáp án : C
+) Tìm điều kiện để hàm số y=ax+b là hàm số bậc nhất là a\ne 0
+) Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right) và d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right).
+) d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.
+) d cắt d' \Leftrightarrow a \ne a'.
+) d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right..
+) d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1.
+) Ta thấy d:y = \left( {m + 2} \right)x - m có a = m + 2 và d':y = - 2x - 2m + 1 có a' = - 2 .
+) Để y = \left( {m + 2} \right)x - m là hàm số bậc nhất thì m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2
+) Để d cắt d' \Leftrightarrow a \ne a'
\Leftrightarrow m + 2 \ne - 2 \Leftrightarrow m \ne - 4
Vậy m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}.
Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là \left( {1; - 2} \right), tính a - b.
-
A.
\dfrac{{13}}{8}
-
B.
- \dfrac{{13}}{8}
-
C.
\dfrac{5}{8}
-
D.
- \dfrac{5}{8}
Đáp án : B
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm \left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..
Thay x = 1;y = - 2 vào hệ ta được
\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) = - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} - 2b = - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a = - \dfrac{1}{8}\end{array} \right.
a - b = - \dfrac{{13}}{8}
Vậy a - b = - \dfrac{{13}}{8}.
Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right. ( m là tham số) . Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm \left( {x;y} \right) của hệ phương trình
-
A.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) thỏa mãn 2x + y \le {\rm{3}}
-
B.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) thỏa mãn 2x + y > {\rm{3}}
-
C.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) thỏa mãn 2x + y \ge {\rm{3}}
-
D.
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) thỏa mãn 2x + y = {\rm{3}}
Đáp án : A
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm \left( {x,y} \right) theo tham số m
Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m
Từ \left( {m - 1} \right)x + y = 2 thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:
mx + 2-\left( {m - 1} \right)x = m + 1 \Leftrightarrow x = m-1 suy ra y = 2-{\left( {m - 1} \right)^2} với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) = \left( {m - 1;2-{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \right)
2x + {\rm{ }}y = 2\left( {m - 1} \right) + 2-{\left( {m - 1} \right)^2} = - {m^2} + 4m - 1
= 3-{\left( {m - 2} \right)^2} \le 3 với mọi m.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 42 m. Đường chéo hình chữ nhật dài 15 m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.
-
A.
10\,\,m
-
B.
12\,\,m
-
C.
9\,\,m
-
D.
8\,\,m
Đáp án : C
Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập hệ phương trình.
Chú ý các công thức:
+ Chu vi hình chữ nhật = ( Chiều dài + chiều rộng).2
+ Định lý Pitago: " Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông"
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là x,y\,\,\left( {21 > x > y > 0;\,m} \right)
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 42 m nên ta có \left( {x + y} \right).2 = 42
Đường chéo hình chữ nhật dài 15m nên ta có phương trình {x^2} + {y^2} = {15^2}
Suy ra hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 42\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}y = 21 - x\\{x^2} + {\left( {21 - x} \right)^2} = 225\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.
Giải phương trình \left( 1 \right) ta được
2{x^2} - 42x + 216 = 0 \\ {x^2} - 21x + 108 = 0 \\ \left( {x - 12} \right)\left( {x - 9} \right) = 0
x = 12, y = 9\,\left( N \right) hoặc x = 9, y = 12\,\,\left( L \right)
Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là 9\,\,m.
Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108\,km và ngược dòng 63\,km . Một lần khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng 81\,km và ngược dòng 84\,km . Tính vận tốc nước chảy.
-
A.
4\,{\rm{km/h}}
-
B.
3\,{\rm{km/h}}
-
C.
2\,{\rm{km/h}}
-
D.
2,5\,{\rm{km/h}}
Đáp án : B
Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình.
Chú ý: Công thức liên quan đến chuyển động của tàu, cano.. trên dòng nước
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc ca nô (tàu) + vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc ca nô (tàu) - vận tốc dòng nước
Gọi vận tốc thực của canô là x\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > 0} \right), vận tốc dòng nước là y\,\,\left( {{\rm{km/h}},0 < y < x} \right)
Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right), vận tốc cano khi ngược dòng là x - y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)
Canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108\,km và ngược dòng 63\,km nên ta có phương trình
\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7
Canô chạy trên sông trong 7 giờ canô xuôi dòng 81\,km và ngược dòng 84\,km nên ta có phương trình
\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
Ta có hệ phương trình
\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7\\\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7\end{array} \right.
Đặt a = \frac{1}{x+y}, b = \frac{1}{x-y}, hệ phương trình trở thành:
\left\{ \begin{array}{l}108a + 63b = 7\\81a + 84b = 7\end{array} \right.
Nhân phương trình thứ nhất với 4, nhân phương trình thứ hai với 3, ta được:
\left\{ \begin{array}{l}432a + 252b = 28\\243a + 252b = 21\end{array} \right.
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:
432a + 252b - \left(243a + 252b \right) = 28 - 21 189a = 7
a = \frac{1}{27}, thay vào 81a + 84b = 7 ta được b = \frac{1}{21}
Suy ra x + y = 27;x - y = 21
Ta tính được x = \frac{27 + 21}{2} = 24; y = \frac{27 - 21}{2} = 3 (TM)
Vậy vận tốc dòng nước là 3\,\,{\rm{km/h}}.
Cho phương trình \left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm
-
A.
m < - 2
-
B.
m < 2
-
C.
m < 3
-
D.
m < - 3
Đáp án : B
Xét phương trình bậc hai dạng a{x^2} + bx + c = 0 với b = 2b'
TH1: a = 0
TH2: a \ne 0. Khi đó, p hương trình vô nghiệm \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.
Phương trình \left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0 có a = m - 3;b' = - m;c = m - 6
Suy ra \Delta ' = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 9m - 18
TH1: m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3 \Rightarrow - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}
TH2: m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3
Để phương trình có vô nghiệm phân biệt thì \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\9m - 18 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 2\end{array} \right. \Rightarrow m < 2
Vậy m < 2 là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của m để phương trình {x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
-
A.
m < 2 và m \ne 1
-
B.
m < 3
-
C.
m <2
-
D.
m > 0
Đáp án : A
Xét phương trình a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right) có hai nghiệm âm phân biệt khi \Delta > 0 (\Delta ' > 0), P > 0 và S < 0.
Phương trình {x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0 có {a = 1;b' = - \left( {m - 3} \right);c = 8 - 4m}
Ta có \Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {8 - 4m} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2};
Áp dụng định lí Viète, ta có: S = {x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 3} \right);P = {x_1}.{x_2} = 8 - 4m
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi:
+) \Delta ' > 0 hay {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 suy ra m \ne 1
+) S = {x_1} + {x_2} < 0 hay 2\left( {m - 3} \right) < 0 suy ra m < 3
+) P = {x_1}.{x_2} > 0 hay 8 - 4m > 0 suy ra m < 2
Kết hợp 3 điều kiện trên, ta được m \ne 1 và m < 2
Vậy m < 2 và m \ne 1 là giá trị cần tìm.
Biết rằng phương trình \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right) luôn có nghiệm {x_1};{x_2} với mọi m. Tìm {x_1};{x_2} theo m.
-
A.
{x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}
-
B.
{x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}
-
C.
{x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}
-
D.
{x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}
Đáp án : C
Sử dụng cách nhẩm nghiệm:
Xét phương trình bậc hai a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).
+) Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm {x_1} = 1, nghiệm kia là {x_2} = \dfrac{c}{a}.
+ ) Nếu phương trình có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm {x_1} = - 1, nghiệm kia là {x_2} = - \dfrac{c}{a}.
Phương trình \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0 có a = m - 2;b = - 2m - 5;c = m + 7
Vì a + b + c = m - 2 - 2m - 5 + m + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm {x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}.
Số nghiệm của phương trình 3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0 là:
-
A.
2
-
B.
0
-
C.
1
-
D.
3
Đáp án : C
Ta có 3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 5 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} = - 5\left( L \right)\\x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow x = - 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1.
Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường 42{\rm{km}}, rồi sau đó ngược dòng trở lại 20{\rm{ km}} hết tổng cộng 5{\rm{h}}. Biến vận tốc của dòng nước chảy là 2{\rm{ km/h}}. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
-
A.
11{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)
-
B.
12{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)
-
C.
14{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)
-
D.
15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)
Đáp án : B
Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right);\left( {x > {\rm{2}}} \right)
Vì vận tốc nước là 2{\rm{ km/h}} nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x{\rm{ }} + {\rm{ }}2 và x{\rm{ - }}2{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)
Thời gian để ca nô đi hết 42{\rm{ km}} xuôi dòng là \dfrac{{42}}{{x + 2}}{\rm{(h)}}
Thời gian để ca nô đi hết 20{\rm{ km}} ngược dòng là \dfrac{{20}}{{x - 2}}{\rm{(h)}}
Tổng thời gian là 5{\rm{h}} do đó
\dfrac{{42}}{{x + 2}} + \dfrac{{20}}{{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{42(x - 2) + 20(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{62x - 44}}{{{x^2} - 4}} = 5
\Rightarrow 5{x^2} - 62x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12{\rm{(TM)}}\\x = 0,4{\rm{(L)}}\end{array} \right.
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12{\rm{ km/h}} .
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
-
A.
DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH
-
B.
DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH
-
C.
Tứ giácAEHD là hình chữ nhật
-
D.
DE \bot DI (với I là trung điểm BH)
Đáp án : A
Sử dụng dấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt và cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH.
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh
ID \bot DE hay \widehat {ODI} = {90^o}
Vì D,E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có: \widehat {BDH} = \widehat {CEH} = {90^0}
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH vàDE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA .
Suy ra \Delta ODH cân tại O \Rightarrow \widehat {ODH} = \widehat {OHD}
Ta cũng có \Delta IDH cân tại I \Rightarrow \widehat {IDH} = \widehat {IHD}
Từ đó \Rightarrow \widehat {IDH} + \widehat {HDO} = \widehat {IHD} + \widehat {DHO} \Rightarrow \widehat {IDO} = 90^\circ \Rightarrow ID \bot DE
Ta có ID \bot DE,D \in \left( I \right) nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.
Từ chứng minh trên suy ra các phương án B,C,D đúng.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng {120^0}. Biết chu vi tam giác MAB là 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)cm, tính độ dài dây AB.
-
A.
18\,cm
-
B.
6\sqrt 3 cm
-
C.
12\sqrt 3 \,cm
-
D.
15\,cm
Đáp án : A
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và công thức chu vi tam giác

Xét \left( O \right) có MA = MB; \widehat {AMO} = \widehat {BMO} (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên \widehat {AMO} = 60^\circ . Xét tam giác vuông AOM có AM = AO.cot\widehat {AMO} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} nên MA = MB = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}
Lại có \widehat {AOB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ suy ra \Delta AOB là tam giác đều \Rightarrow AB = OB = OA = R
Chu vi tam giác MAB là MA + MB + AB = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)
hay R\left( {\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right) \Rightarrow R = 18\,cm nên AB = 18\,cm.
Cho hai đường tròn \left( {O;20cm} \right) và \left( {O';15cm} \right) cắt nhau tại A vàB. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằngAB = 24cm và O và O' nằm cùng phía đối với AB .
-
A.
OO' = 7cm
-
B.
OO' = 8cm
-
C.
OO' = 9cm
-
D.
OO' = 25cm
Đáp án : A
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và định lý Pytago

Ta có: AI = \dfrac{1}{2}AB = 12\,\ cm
Theo định lý Pytago ta có
O{I^2} = O{A^2}-A{I^2} = 256 \Rightarrow OI = 16 \,\ cm và O'I = \sqrt {O'{A^2} - I{A^2}} = 9 \,\ cm
Do đó: OO' = OI-O'I = 16-9 = 7\left( {cm} \right) .
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB,AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Khi đó A{B^2} bằng
-
A.
AD.AE
-
B.
AD.AC
-
C.
AE.BE
-
D.
AD.BD
Đáp án : A
Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau và suy ra tam giác đồng dạng
Từ đó có hệ thức cần chứng minh.

Xét \left( O \right) có \widehat {AEB} = \widehat {ABC} (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau AB = AC )
Xét \Delta ABD và \Delta AEB có \widehat A chung và \widehat {AEB} = \widehat {ABC} (cmt) nên \Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AD
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp \left( O \right) . Kẻ tiếp tuyến xAy với \left( O \right) . Từ B kẻ BM{\rm{//}}xy\left( {M \in AC} \right) . Khi đó tích AM.AC bằng
-
A.
A{B^2}
-
B.
B{C^2}
-
C.
A{C^2}
-
D.
A{M^2}
Đáp án : A
Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

Ta có \widehat {yAB} = \widehat {ACB} (hệ quả) mà \widehat {yAB} = \widehat {ABM} (so le trong) nên \widehat {ACB} = \widehat {ABM} \Rightarrow \Delta AMB\backsim\Delta ABC\left( {g - g} \right)
\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AM.AC = A{B^2} .
Cho đường tròn \left( O \right) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. Khẳng định nào đúng ?
-
A.
Tứ giác BIHK nội tiếp.
-
B.
Tứ giác BIHK không nội tiếp.
-
C.
Tứ giác BIHK là hình chữ nhật.
-
D.
Các đáp án trên đều sai.
Đáp án : A
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Ta có: \widehat {AKB} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) suy ra \widehat {AKB} = {90^0}.
Tam giác HKB có \widehat {HKB} = {90^0} và tam giác HIB có \widehat {HIB} = {90^0}\left( {do\;\;CD \bot AB } \right) nên tam giác HKB và tam giác HIB vuông và nội tiếp đường tròn đường kính HB.
Do đó tứ giác HKBI là tứ giác nội tiếp (bốn đỉnh H, K, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính HB).
Vậy A đúng, B sai.
Lại có \widehat {KBA} < {90^0} do \Delta AKB vuông tại K nên KBIH không là hình chữ nhật. Do đó C sai.
Cho \Delta ABC vuông ở A . Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC . Kẻ BM cắt đường tròn tại D . Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
-
A.
Tứ giác ABCD nội tiếp.
-
B.
\widehat {ABD} = \widehat {ACD}
-
C.
CA là phân giác của \widehat {SCB}.
-
D.
Tứ giác ABCS nội tiếp.
Đáp án : D
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng {180^0}.
+) Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc \alpha .
+) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm, điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
+) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.

+) Ta có: \widehat {MDC} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC \Rightarrow \widehat {MDC} = {90^0} (tính chất góc nội tiếp).
Xét tứ giác ABCD ta có:
Góc BAC và góc BDC cùng nhìn đoạn BC dưới góc {90^0}.
\Rightarrow ABCD là tứ giác nội tiếp (dhnb) \Rightarrow phương án A đúng.
+) Xét tứ giác ABCD nội tiếp ta có\widehat {ABD} = \widehat {ACD} (cùng nhìn đoạn AD ) \Rightarrow phương án B đúng.
+) Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M,C,D,S cùng thuộc đường tròn.
\Rightarrow Tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp.
\Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {SCM} (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). \left( 1 \right)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ADB} (cùng nhìn đoạnAB ) \left( 2 \right)
Từ \left( 1 \right) và \left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {ACS}\;\;\;\left( { = \widehat {ADB}} \right).
Hay CA là phân giác của \widehat {SCB} \Rightarrow phương án C đúng.
+) Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp \Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {BCA} (hai góc cùng nhìn đoạn AB ).
Mà \widehat {ACB} = \widehat {BDA};\;\;\;\widehat {BAD} \ne \widehat {BSA} (xét trong đường tròn đường kính CM )
\Rightarrow \widehat {ASB} \ne \widehat {BCA} \Rightarrow tứ giác ABCS không là tứ giác nội tiếp \Rightarrow phương án D sai.
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn \left( O \right). Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 4\pi . Diện tích của tam giác đều ABC là:
-
A.
27\sqrt 3 cm^2
-
B.
7\sqrt 3 cm^2
-
C.
29\sqrt 3 cm^2
-
D.
9\sqrt 3 cm^2
Đáp án : A
+ Áp dụng công thức tính chu vi hình tròn
+ Tính chất của tam giác cân
+ Sử dụng định lý Pitago
+ Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Gọi R là bán kính của đường tròn \left( O \right). Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 4\pi nên ta có C = 2\pi R = 4\pi + 4\pi + 4\pi = 12\pi , suy ra R = 6 hay OA = OB = OC = 6
Ta cũng có \widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = {120^0} suy ra \Delta AOB = \Delta AOC = \Delta BOC = \dfrac{1}{3}\Delta ABC
Xét tam giác AOC có: \left\{ \begin{array}{l}\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {30^0}\\\widehat {COA} = {120^0}\end{array} \right.
Kẻ đường caoOE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc \widehat {COA} . Ta có \widehat {AOE} = \widehat {COE} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC}
Xét tam giác COE có: \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ECO} = {30^0}\\\widehat {CEO} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}CO = \dfrac{R}{2}
Áp dụng định lý Pytago ta có: CE = \sqrt {O{C^2} - O{E^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R
Vậy {S_{COE}} = \dfrac{1}{2}OE.CE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 {R^2}}}{8}
Suy ra {S_{COA}} = 2{S_{COE}} = \dfrac{{\sqrt 3 {R^2}}}{4} và {S_{ABC}} = 3{S_{COA}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4} = 27\sqrt 3 \,\ cm^2 .