Giải bài 1. 56 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I): Điểm cực đại của đồ thị $\left( C \right)$ là $\left( {0;1} \right)$.

(II): Trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right)$.

(III): Giá trị lớn nhất của hàm số là 1.

(IV): Điểm cực đại của đồ thị $\left( C \right)$ là $x = 0$.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. $4$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

Lời giải chi tiết

Ta có $y' = \frac{{ - x}}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}}$ .  Suy ra $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Ta xét dấu của đạo hàm. Qua điểm $x = 0$, đạo hàm thay đổi giá trị từ dương sang âm. Do đó $x = 0$ là một điểm cực đại của hàm số.

Xét lần lượt các mệnh đề ta có:

+ Mệnh đề (I): Do $x = 0$ là một điểm cực đại của hàm số nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {0;1} \right)$.

Suy ra (I) đúng.

+ Mệnh đề (II): Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = 0$ suy ra $y = 0$ hay $Ox$ là tiệm cận ngang của $\left( C \right)$

Suy ra (II) đúng.

+ Mệnh đề (III): Giá trị lớn nhất của hàm số là . Suy ra (III) đúng.

+ Mệnh đề (IV): Theo mệnh đề (I) đúng ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {0;1} \right)$ chứ không phải là $x = 0$ nên (IV) sai.

Vậy có tất cả 3 mệnh đề đúng nên ta chọn đáp án D.