Giải bài 1. 55 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ khi

A. $m =  - 1$

B. $m =  - 3$

C. $m \in \left\{ { - 3; - 1} \right\}$

D. $m \in \emptyset$

Lời giải chi tiết

Ta có $y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$.

Suy ra:

$\begin{array}{l}y'' = {\left[ {\frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}} \right]^\prime } = \frac{{\left( {2x + 2m} \right){{\left( {x + m} \right)}^2} - 2\left( {x + m} \right)\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\{\rm{    }} = 2x + 2m - \frac{{2\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{x + m}}\end{array}$.

Để hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ thì $y'\left( 2 \right) = 0$ và $y''\left( 2 \right) < 0$.

Ta có $y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m \cdot 2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 4m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m =  - 1$ hoặc $m =  - 3$.

Với $m =  - 1$ ta có $y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 1} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2 > 0$, do đó $x = 2$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Với $m =  - 3$ ta có $y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 3} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 3}} =  - 2 < 0$, do đó $x = 2$ là một điểm cực đại của hàm số.

Vậy để $x = 2$ là một điểm cực đại của hàm số thì $m =  - 3$. Ta chọn đáp án B.