Giải bài 1.50 trang 33 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận (Pleft( x right)) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên. b) Cho (Cleft( x right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}) là hàm chi phí và (pleft( x right) = 1700 - 7x) là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa lợi nhuận.
Đề bài
a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận P(x) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.
b) Cho C(x)=16000+500x−1,6x2+0,004x3 là hàm chi phí và p(x)=1700−7x là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa lợi nhuận.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Tính hàm lợi nhuận P(x)=R(x)−C(x), tính đạo hàm và sử dụng ý nghĩa của cực đại.
Ý b: Xác định công thức hàm lợi nhuận P(x)=x⋅p(x)−C(x) và tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a) Ta có hàm lợi nhuận P(x)=R(x)−C(x) trong đó R(x) là doanh thu và C(x) là chi phí.
Khi lợi nhuận đạt cực đại tại x0 thì P′(x0)=R′(x0)−C′(x0)=0 hay R′(x0)=C′(x0). Nói cách khác doanh thu biên bằng chi phí biên.
b) Ta có hàm lợi nhuận
P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(1700−7x))−(16000+500x−1,6x2+0,004x3) =−16000+1200x−5,4x2−0,004x3
Suy ra P′(x)=1200−10,8x−0,012x2 khi đó P′(x)=0⇔1200−10,8x−0,012x2=0⇔x=100 do x>0.
Lập bảng biến thiên
Vậy mức sản xuất tối đa là 100 đơn vị hàng hóa.