Giải bài 1. 64 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng $\Delta$ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).

c) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3} - 3{x^2} - m = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$.

Tập xác định: $\mathbb{R}$.

+ Sự biến thiên:

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x$ suy ra $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên $\left( {0;2} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CĐ}} =  2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} =  - 2$.

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty$.

Lập bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị nhận $I\left( {1;0} \right)$ làm tâm đối xứng.

b) Ta có $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) tại $I\left( {1;0} \right)$ suy ra $\Delta$ là đường thẳng có hệ số góc là $y'\left( 1 \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$: $y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y =  - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y =  - 3x + 3$.

Các tiếp tuyến của (C) có hệ số góc tổng quát là $y' = 3{x^2} - 6x = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 \ge 3\forall x$

Suy ra hệ số góc có giá trị nhỏ nhất là -3.

Vậy $\Delta$ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).

c) Xét phương trình ${x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = m + 2{\rm{  }}\left( 1 \right)$.

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng $y = m + 2$.

Từ đồ thị (C) ta thấy, đồ thị (C) cắt đường thẳng $y = m + 2$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi

$- 2 < m + 2 < 2 \Leftrightarrow  - 4 < m < 0$.

Vậy $- 4 < m < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.