Giải bài 2 trang 48 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ có đồ thị (C). Xét đường thẳng đi qua điểm $A\left( { - 3;1} \right)$ và có hệ số góc k. Điều kiện của k để đường thẳng đó cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

A. $0 < k < 1$.

B. $k > 0$.

C. $1 < k < 9$.

D. $0 < k \ne 9$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng đi qua điểm $A\left( { - 3;1} \right)$ và có hệ số góc k có phương trình $d:y = k\left( {x + 3} \right) + 1$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

${x^3} + 3{x^2} + 1 = k\left( {x + 3} \right) + 1 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - k} \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 3$ hoặc ${x^2} = k$.

Số giao điểm của (C) và d bằng số nghiệm của phương trình trên do đó để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt, điều này xảy ra khi phương trình ${x^2} = k$ có hai nghiệm phân biệt khác -3 do đó $0 < k \ne 0$.

Đáp án D.