Giải bài 2.4 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE} \); b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD} \); c) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD} \).
Đề bài
Trong không gian, cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE} \);
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD} \);
c) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phép cộng, trừ vectơ, tính chất của phép cộng, phép trừ đó (giao hoán, kết hợp), cộng hai vectơ đối với nhau. Ngoài ra còn cần lựa chọn điểm trung gian trong các điểm đã cho sẵn một cách phù hợp để xuất hiện các vectơ mình muốn và các vectơ đối để loại những vectơ không cần dùng đến. Cụ thể ta sẽ biến đổi một vế để đưa về vế còn lại, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE} \) (đ.p.c.m).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} + \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DE} } \right) + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD} \) (đ.p.c.m).
c) Ta có \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} = BE + EC + DC + CE = BE + \left( {EC + CE} \right) + DC = BE + DC = BE - CD\) (đ.p.c.m).