Giải bài 1. 66 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{x + 2}}$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi $m > 0$.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị $\left( H \right)$ của hàm số đã cho với $m = 1$.

c) Giả sử $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( H \right)$ tại điểm $M \in \left( H \right)$ bất kì. Chứng minh rằng nếu $\Delta$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của $\left( H \right)$ tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $y' = \frac{{\left( {2mx + 2m - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{m{x^2} + 4mx + 4m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne  - 2} \right)$.

Xét phương trình $m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0{\rm{  }}$

Ta có $\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 4{m^2} + m = m$. Do đó nếu $m > 0$ thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - 2m - \sqrt m }}{m} =  - 2 - \frac{1}{{\sqrt m }}$; ${x_2} = \frac{{ - 2m + \sqrt m }}{m} =  - 2 + \frac{1}{{\sqrt m }}$.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số luôn có tiểu và cực đại với mọi $m > 0$.

b) Với $m = 1$ ta có $\left( H \right):{\rm{ }}y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}$.

Tập xác định: $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Suy ra $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3$ hoặc $x =  - 1$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty$ suy ra $x =  - 2$ là tiệm cận đứng.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0$ suy ra $y = x - 1$ là tiệm cận xiên

Ta lập bảng biến thiên

Đồ thị:

c) Giả sử $M \in \left( H \right)$ bất kì suy ra $M\left( {t;\frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}} \right)$.

Tiếp tuyến của $\left( H \right)$ tại $M$ có phương trình là

$\Delta :y = y'\left( t \right)\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}} \Leftrightarrow y = \frac{{{t^2} + 4t + 3}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}$.

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng $x =  - 2$ tại $A\left( { - 2; - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}}} \right)$, cắt tiệm cận xiên $y = x - 1$ tại

$B\left( {2t + 2;2t + 1} \right)$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2t = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = \left( {2t + 1} \right) - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}} = \frac{{2{t^2} + 2t - 2}}{{t + 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.$.

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.