Giải bài 10 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ được minh hoạ như Hình 3. Cho biết $OABC.DEFH$ là hình hộp chữ nhật và $EMF.DNH$ là hình lăng trụ đứng.

a) Tìm toạ độ của các điểm $B,F,H$.

b) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MF}$.

c) Tính số đo $\widehat {EMF}$.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Ta có

$\overrightarrow {OA}  = \left( {6;0;0} \right),\overrightarrow {CB}  = \left( {{x_B};{y_B} - 4;{z_B}} \right)$.

$OABC$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CB}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} - 4 = 0\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\\{z_B} = 0\end{array} \right.$. Vậy $B\left( {6;4;0} \right)$.

Giả sử $F\left( {{x_F};{y_F};{z_F}} \right)$. Ta có

$\overrightarrow {A{\rm{E}}}  = \left( {0;0;4} \right),\overrightarrow {BF}  = \left( {{x_F} - 6;{y_F} - 4;{z_F}} \right)$.

$ABF{\rm{E}}$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {A{\rm{E}}}  = \overrightarrow {BF}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} - 6 = 0\\{y_F} - 4 = 0\\{z_F} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\\{z_B} = 4\end{array} \right.$. Vậy $F\left( {6;4;4} \right)$.

Giả sử $H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)$. Ta có

$\overrightarrow {O{\rm{D}}}  = \left( {0;0;4} \right),\overrightarrow {CH}  = \left( {{x_H};{y_H} - 4;{z_H}} \right)$.

$OCH{\rm{D}}$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {O{\rm{D}}}  = \overrightarrow {CH}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} - 4 = 0\\{z_H} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = 4\\{z_H} = 4\end{array} \right.$. Vậy $H\left( {0;4;4} \right)$.

b) $\overrightarrow {ME}  = \left( {6 - 6;0 - 2;4 - 6} \right) = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {MF}  = \left( {6 - 6;4 - 2;4 - 6} \right) = \left( {0;2; - 2} \right)$.

c) $\cos \widehat {EMF} = \cos \left( {\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MF} } \right) = \frac{{0.0 + \left( { - 2} \right).2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 0$

Vậy $\widehat {EMF} = {90^ \circ }$.