Giải bài 10 trang 65 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 2\). a) Tinh khoảng cách từ tâm \(I\) của \(\left( S \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). b) Gọi \(J\) là điểm đối xứng của \(I\) qua gốc toạ độ \(O\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tâm \(J\) và có cùng bán kính với \(\left( S \right)\).
Đề bài
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 2\).
a) Tinh khoảng cách từ tâm \(I\) của \(\left( S \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
b) Gọi \(J\) là điểm đối xứng của \(I\) qua gốc toạ độ \(O\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tâm \(J\) và có cùng bán kính với \(\left( S \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 2\) có tâm \(I\left( {1;0; - 2} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\).
Ta có: \(d\left( {I;\left( {{\rm{Oxy}}} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2\).
b) \(J\) là điểm đối xứng của \(I\) qua gốc toạ độ \(O\) nên \(J\left( { - 1;0;2} \right)\).
Phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tâm \(J\left( { - 1;0;2} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) là:
\(\left( {S'} \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2\)