Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x - 2}}{{m - 2 - x}}$ ($m$ là tham số). Tìm điều kiện của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y' = \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) - \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {m - 2 - x} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - 3m}}{{{{\left( {m - 2 - x} \right)}^2}}}$

Hàm số có đường thẳng $x = m - 2$ là tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 1 - m$ là tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$ thì hàm số nghịch biến, có tiệm cận đứng không nằm bên trái trục $Oy$ và có tiệm cận ngang không nằm bên dưới trục $Ox$, tức là:

$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m < 0\\c =  - 1 \ne 0\\1 - m \ge 0\\m - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 3\\m \le 1\\m \ge 2\end{array} \right.$

Do đó không có giáo trị nào của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$.