Giải bài 11 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x \le 1\\\frac{1}{x},x > 1\end{array} \right.$.

a) Chứng tỏ rằng hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Tính $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x \le 1\\\frac{1}{x},x > 1\end{array} \right.$.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{x} = 1;f\left( 1 \right) = 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 1$ nên hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\ln {\rm{x}}} \right|_1^2 = \frac{2}{3} + \ln 2$.