Giải bài 13 trang 63 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( {4;3;5} \right)$.

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2;4} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {1;4;1} \right)$.

c) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;4} \right)$.

d) Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2;4} \right)$. Vậy a) đúng.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.4 - 1.2;4.1 - 3.4;3.2 - 1.4} \right) = \left( {2; - 8;2} \right) = 2\left( {1; - 4;1} \right)$.

Vậy $\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$. Vậy b) sai.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {0;1;1} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;1} \right)$ là:

$1\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z + 3 = 0$.

Ta có: $1 - 4.2 + 4 + 3 = 0$. Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;4} \right)$. Vậy c) đúng.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;1} \right)$.

Đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1; - 4;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow n  = \overrightarrow u$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $d$. Vậy d) đúng.

a) Đ.

b) S.

c) Đ.

d) Đ.