Giải bài 14 trang 63 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Cho điểm (Mleft( {2;0;0} right)) và mặt phẳng (left( P right):2x - y - 2z + 11 = 0). a) Điểm (Aleft( {0;5;3} right)) thuộc mặt phẳng (left( P right)). b) (dleft( {M,left( P right)} right) = frac{5}{9}). c) Đường thẳng (MA) vuông góc với (left( P right)). d) Đường thẳng (d:frac{{x - 7}}{1} = frac{{y - 9}}{{ - 2}} = frac{{z - 31}}{2}) song song với (left( P right)).
Đề bài
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.
Cho điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 11 = 0\).
a) Điểm \(A\left( {0;5;3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
b) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{5}{9}\).
c) Đường thẳng \(MA\) vuông góc với \(\left( P \right)\).
d) Đường thẳng \(d:\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z - 31}}{2}\) song song với \(\left( P \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) nếu \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
‒ Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nếu hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} \) cùng phương.
‒ Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đường thẳng \(d\) nếu hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} \) vuông góc.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(2.0 - 5 - 2.3 + 11 = 0\). Do đó điểm \(A\left( {0;5;3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Vậy a) đúng.
Ta có: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 0 - 2.0 + 11 = 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 5\). Vậy b) sai.
Đường thẳng \(MA\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 2;5;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).
Vì \(\frac{{ - 2}}{2} \ne \frac{5}{{ - 1}} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) nên đường thẳng \(MA\) không vuông góc với \(\left( P \right)\). Vậy c) sai.
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z - 31}}{2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = 2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 = 0\) nên \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \). Do đó đường thẳng \(d\) song song với \(\left( P \right)\). Vậy d) đúng.
a) Đ.
b) S.
c) S.
d) Đ.