Giải bài 15 trang 65 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình tháp n tầng, với tầng đáy thứ n có n khối hàng, tầng ngay trên tầng đáy có (n − 1) khối hàng, ..., tầng trên cùng có 1 khối hàng (chẳng hạn với n = 8 ta có cách xếp như minh hoạ ở Hình 7). a) Tính tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng. b) Tìm n, biết S = 120.
Đề bài
Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình tháp n tầng, với tầng đáy thứ n có n khối hàng, tầng ngay trên tầng đáy có (n − 1) khối hàng, ..., tầng trên cùng có 1 khối hàng (chẳng hạn với n = 8 ta có cách xếp như minh hoạ ở Hình 7).
a) Tính tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng.
b) Tìm n, biết S = 120.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thứ tự hàng bằng số khối ở mỗi hàng, vì vậy tháp n tầng ta lập được tổng gồm n số hạng từ 1 đến n.
b) Từ công thức tìm được ở câu a, thay S = 120 vào ta tìm được n.
Lời giải chi tiết
a) Tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng là:
\(S = 1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right) + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) khối hàng.
b) Với S = 120 ta có \(120 = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) hay \(n\left( {n + 1} \right) = 240\), do đó \({n^2} + n - 240 = 0\).
Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 1;c = - 240\)
\(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 240} \right) = 961 > 0\)
Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({n_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt {961} }}{{2.1}} = - 16;{n_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt {961} }}{{2.1}} = 15\)
Ta thấy \(n = - 16\) không thỏa mãn và \(n = 15\) thỏa mãn.
Vậy \(n = 15\) với S = 120.