Giải bài 15 trang 106 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm F thuộc đoạn thẳng OB, tia CF cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E (hình 15). Chứng minh EF = ED.
Đề bài
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm F thuộc đoạn thẳng OB, tia CF cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E (hình 15). Chứng minh EF = ED.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh EF=ED ta chứng minh như sau:
ˆC+^OFC=90∘,^ODF+^FDE=90∘ suy ra ^FDE=^DFE (cùng bằng ^OFC)
Do đó ΔDEF cân tại E suy ra EF=ED
Lời giải chi tiết
Do DE là tiếp tuyến của (O) nên OD⊥DE hay ^ODE=90∘.
Xét tam giác OCD có OC=OD(=R) nên tam giác OCD cân tại O, do đó ˆC=^ODF.
Ta lại có ˆC+^OFC=90∘(tam giác OCF vuông tại O), ^ODF+^FDE=^ODE=90∘
Suy ra ^OFC=^FDE, mà ^OFC=^DFE (đối đỉnh) nên ^FDE=^DFE.
Xét tam giác DFE có ^FDE=^DFE nên tam giác DFE cân tại E, do đó EF = ED.