Giải bài 16 trang 106 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD, lấy điểm H sao cho BH = AB. Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O. a) So sánh OA, OH, HD. b) Xác định vị trí tương đối của BD và đường tròn (O; OA).
Đề bài
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD, lấy điểm H sao cho BH = AB. Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O.
a) So sánh OA, OH, HD.
b) Xác định vị trí tương đối của BD và đường tròn (O; OA).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Chứng minh \(\Delta OAB = \Delta OHB\) để suy ra \(OA = OH\)
Bước 2: Chứng minh tam giác ODH là tam giác vuông cân để suy ra \(OH = DH\).
b) Chỉ ra BD là tiếp tuyến của (O).
Lời giải chi tiết
a) Do ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \), và DB là tia phân giác của góc ADB nên \(\widehat {ADB} = 45^\circ \).
Xét tam giác OAB và tam giác OHB có:
\(\widehat {OAB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \);
OB chung;
\(AB = BH\)
Suy ra \(\Delta OAB = \Delta OHB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó \(OA = OH\) (cặp cạnh tương ứng) (1)
Xét tam giác ODH vuông tại H có \(\widehat {ODH} = 45^\circ \) nên tam giác ODH là tam giác vuông cân tại H, do đó \(OH = DH\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(OA = OH = DH\).
b) Vì \(OA = OH\) và OH vuông góc với Bd tại H nên BD là tiếp tuyến của (O). Vậy BD tiếp xúc với (O;OA).