Giải bài 18 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$, $J$,$K$, $L$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SAD$.

a)    Chứng minh rằng bốn điểm $I$, $J$,$K$, $L$ đồng phẳng và tứ giác $IJKL$ là hình bình hành.

b)    Chứng minh rằng $JL\parallel {\rm{CD}}$.

c)     Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IJKL} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $BC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Suy ra $MN\parallel AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC$.

Tương tự ta có $PQ\parallel AC$ và $PQ = \frac{1}{2}AC$.

Suy ra $MN\parallel PQ$ và $MN = PQ$. Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Ta có $I$ là trọng tâm của tam giác $SAB$, nên suy ra $I \in SM$ và $\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $J \in SN$ và $\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}$.

Tam giác $SMN$ có $\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}$, theo hệ quả của định lí Thales ta suy ra $IJ\parallel MN$ và $\frac{{IJ}}{{MN}} = \frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $LK\parallel PQ$ và $\frac{{LK}}{{PQ}} = \frac{2}{3}$.

Từ đó ta suy ra $IJ\parallel LK$ và $IJ = LK$. Vậy bốn điểm $I$, $J$, $K$, $L$ đồng phẳng và tứ giác $IJLK$ là hình bình hành.

b) Ta có $L$ là trọng tâm của tam giác $SAD$, nên suy ra $L \in SQ$ và $\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{{SJ}}{{SN}}$, tức là $JL\parallel NQ$.

Mặt khác $N$ là trung điểm của $BC$,$Q$ là trung điểm của $DA$ nên suy ra $NQ\parallel CD$.

Vậy $JL\parallel CD$.

c) Xét hai mặt phẳng $\left( {IJKL} \right)$và $\left( {SCD} \right)$, ta có $JL\parallel CD$, $JL \in \left( {IJKL} \right)$, $CD \in \left( {SCD} \right)$.

Hơn nữa $K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ và $K \notin JL$, $K \notin CD$

Xét hai mặt phẳng $\left( {IJKL} \right)$và $\left( {SCD} \right)$, ta có $K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)$, tức là $K$ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Hơn nữa, $K \notin JL$, $K \notin CD$, nên $JL$ và $CD$ không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Mặt khác, ta có $JL\parallel CD$, $JL \in \left( {IJKL} \right)$, $CD \in \left( {SCD} \right)$ nên giao tuyến của $\left( {IJKL} \right)$và $\left( {SCD} \right)$ là một đường thẳng đi qua $K$ và song song với $CD$. Trên hình vẽ, giao tuyến của chúng là đường thẳng $EF$ đi qua $K$ và song song với $CD$.