Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) thỏa mãn (left| {overrightarrow a } right| = 1), (left| {overrightarrow b } right| = 2) và (left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^ circ }). Tính các tích vô hướng sau: a) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}); b) (left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right) cdot left( {overrightarrow a - overrightarrow b } right)); c) (left( {2
Đề bài
Trong không gian, cho hai vectơ →a và →b thỏa mãn |→a|=1, |→b|=2 và (→a,→b)=45∘.
Tính các tích vô hướng sau:
a) (→a+→b)2
b) (→a+→b)⋅(→a−→b)
c) (2→a−→b)⋅(→a+3→b)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đầu tiên thực hiện tính tích vô hướng →a⋅→b, (→a)2 và (→b)2 để sử dụng kết quả đó trong các ý.
Ý a: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức bình phương một tổng), thay giá trị tích vô hướng trị bình phương vectơ đã tính ở trên.
Ý b: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương), thay giá trị bình phương vectơ đã tính ở trên.
Ý c: Sử dụng các biến đổi đại số cơ bản đối với vectơ (nhân hai đa thức), thay giá trị tích vô hướng và trị bình phương vectơ đã tính ở trên.
Lời giải chi tiết
Ta có →a⋅→b=|→a|⋅|→b|⋅cos45∘=1⋅2⋅√22=√2; (→a)2=|→a|2=1 và (→b)2=|→b|2=4.
a) Ta có (→a+→b)2=(→a)2+2⋅→a⋅→b+(→b)2=1+2⋅√2+4=5+2√2.
b) (→a+→b)⋅(→a−→b)=→a2−→b2=1−4=−3.
c) Ta có:
(2→a−→b)⋅(→a+3→b)=2→a2+6⋅→a⋅→b−→b⋅→a−3⋅→b2=2⋅1+5⋅→a⋅→b−3⋅4=2+5⋅√2−12=−10+5√2.