Giải bài 2. 14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a :

a) $\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'}$

b) $\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'}$

c) $\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BD}$. Mặt khác $BD \bot AC$(do ABCD là hình vuông) hay $\overrightarrow {BD}  \bot \overrightarrow {AC}$,

suy ra $\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0$.

b) Ta có $\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BC}$. Suy ra :

$\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = BD \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos \widehat {DBC} = {a^2}\sqrt 2  \cdot \cos {45^ \circ } = {a^2}\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$.

c) Ta có $\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB}$. Suy ra $\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right){\rm{       }}\left( 1 \right)$.

Ta sẽ tính cạnh $AC'$ và xác định góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right)$.

Ta có $CB \bot AB$ suy ra $C'B \bot AB$, do đó tam giác $ABC'$ vuông tại $B$.

Xét tam giác $ABC'$ có $AC' = \sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3$.

Lại có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}$ suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Thay $AC' = a\sqrt 3$ và $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {a^2}$.