Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC và ^ASB=^BSC=^CSA. Chứng minh rằng →SA⋅→BC=→SB⋅→AC=→SC⋅→AB.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC và ^ASB=^BSC=^CSA.
Chứng minh rằng →SA⋅→BC=→SB⋅→AC=→SC⋅→AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý ba đường vuông góc để tìm hình chiếu của S trên (ABC), tiếp tục dùng định lý này để chứng minh SA⊥BC, SB⊥AC và SC⊥AB. Từ đó suy ra các tích vô hướng của từng cặp vuông góc đều bằng 0, do đó chúng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có ba tam giác SAB,SAC,SAB đôi một bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Do đó AB=BC=AC (cạnh tương ứng), suy ra tam giác ABClà tam giác đều.
Giả sử H là hình chiếu của S trên (ABC), kẻ HM⊥BC với M∈BC ta có SM⊥BC.
Mặt khác, tam giác SBC cân tại S(giả thiết SB=SC) suy ra M là trung điểm cạnh BC.
Từ đó suy ra HM là một phần đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tương tự, kẻ HN⊥AB ta thu được HN là một phần đường trung tuyến của tam giác
ABC. Do đó ta có H là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có AM là hình chiếu của SA trên (ABC) và AM⊥BC suy ra SA⊥BC do đó →SA⋅→BC=0
Chứng minh tương tự ta thu được SB⊥AC và SC⊥AB.
Vậy →SA⋅→BC=→SB⋅→AC=→SC⋅→AB=0.