Giải bài 2.20 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho hình lăng trụ tam giác (OAB.O'A'B') có (Aleft( {1;1;7} right)), (Bleft( {2;4;7} right)) và điểm (O') thuộc tia (Ox) sao cho (OO' = 3). a) Tìm tọa độ của vectơ (overrightarrow {OO'} ). b) Tìm tọa độ các điểm (O',A') và (B').
Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ tam giác \(OAB.O'A'B'\) có \(A\left( {1;1;7} \right)\), \(B\left( {2;4;7} \right)\) và điểm \(O'\) thuộc tia \(Ox\) sao cho \(OO' = 3\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OO'} \).
b) Tìm tọa độ các điểm \(O',A'\) và \(B'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OO'} \) là tọa độ của \(O'\).
Ý b: Từ các yếu tố song song trong hình lăng trụ tam giác, tìm được các cặp vectơ bằng nhau, mỗi cặp được chọn phù hợp, ta giải một phương trình để tìm được tọa độ một điểm mà đề yêu cầu.
Lời giải chi tiết
a) Vì điểm \(O'\) thuộc tia \(Ox\) nên tung độ và cao độ của \(O'\) đều là 0, mà \(OO' = 3\) do đó \(O'\left( {3;0;0} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {OO'} = \left( {3;0;0} \right)\).
b) Ta có \(O'\left( {3;0;0} \right)\). Giả sử \(A'\left( {a;b;c} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {O'A'} = \left( {a - 3;b;c} \right)\).
Vì tứ giác \(OAA'O'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O'A'} \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 = a - 3\\1 = b\\7 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4,b = 1,c = 7\).
Do đó \(A'\left( {4;1;7} \right)\). Tương tự giả sử \(B'\left( {c;d;e} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {O'B'} = \left( {c - 3;d;e} \right)\).
Do \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O'B'} \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2 = c - 3\\4 = d\\7 = e\end{array} \right. \Leftrightarrow c = 5,d = 4,e = 7\). Do đó \(B'\left( {5;4;7} \right)\).
Vậy \(O'\left( {3;0;0} \right)\), \(A'\left( {4;1;7} \right)\) và \(B'\left( {5;4;7} \right)\).