Giải bài 2. 25 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\overrightarrow a  = \left( {3;0;4} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {\rm{b}} {\rm{ = }}\left( {2;7;7} \right)$ và $\overrightarrow c  = \left( {2;7;2} \right)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c$ và $2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c$.

b) Tính các tích vô hướng $\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b$ và $\left( {3\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c$.

c) Tính côsin của các góc $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \left( {3 - 2 + 2;0 - 7 + 7;4 - 7 + 2} \right) = \left( {3;0; - 1} \right)$.

$2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c  = \left( {6 + 6 - 8;0 + 21 - 28;8 + 21 - 8} \right) = \left( {4; - 7;21} \right)$.

b) Ta có:

$\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b  =  - \left( {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b } \right) =  - \left( {6 + 0 + 28} \right) =  - 34$; $\left( {3\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c  = 3\left( {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c } \right) = 3\left( {6 + 0 + 8} \right) = 42$.

c) Từ ý b ta có $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 34$ và $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c  = 14$.

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{34}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \frac{{34}}{{5 \cdot \sqrt {102} }} = \frac{{\sqrt {102} }}{{15}}$;

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|}} = \frac{{14}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {7^2} + {2^2}} }} = \frac{{14}}{{5\sqrt {57} }}$.