Giải bài 2. 30 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.

b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $B'CD'$.

c) Chứng minh rằng ba điểm $O,G,A$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có gốc tọa độ là $C'$ nên $C'\left( {0;0;0} \right)$; $B'$ thuộc tia $Ox$ và $OB' = 1$ nên $B'\left( {1;0;0} \right)$; $D'$ thuộc tia $Oy$ và $OD' = 1$ nên $D'\left( {0;1;0} \right)$; $C$ thuộc tia $Oz$ và $OC = 1$ nên $C\left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow {D'D}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = {x_D}\\0 = {y_D} - 1\\1 = {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( {0;1;1} \right)$; $\overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {C'C}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 0\\{y_B} = 0\\{z_B} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {1;0;1} \right)$;

$\overrightarrow {B'A'}  = \overrightarrow {C'D'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - 1 = 0\\{y_{A'}} = 1\\{z_{A'}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow A'\left( {1;1;0} \right)$; $\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {C'C}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 = 0\\{y_A} - 1 = 0\\{z_A} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow A\left( {1;1;1} \right)$.

Vậy $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( {1;0;1} \right)$, $C\left( {0;0;1} \right)$, $D\left( {0;1;1} \right)$, $A'\left( {1;1;0} \right)$, $B'\left( {1;0;0} \right)$, $C'\left( {0;0;0} \right)$

và $D'\left( {0;1;0} \right)$.

b) Ta có $B'\left( {1;0;0} \right)$, $C\left( {0;0;1} \right)$ và $D'\left( {0;1;0} \right)$ suy ra $G\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {OG}  = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$; $\overrightarrow {OA}  = \left( {1;1;1} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow {OG}$. Vậy ba điểm $O,G,A$ thẳng hàng.