Giải bài 20 trang 58 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

So sánh:

a) $\sqrt {2024}  - \sqrt {2023}$ và $\sqrt {2023}  - \sqrt {2022}$

b) $\sqrt {a + b}$ và $\sqrt a  + \sqrt b$ với $a > 0,b > 0$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) $\left( {\sqrt {2024}  - \sqrt {2023} } \right)\left( {\sqrt {2024}  + \sqrt {2023} } \right) = 2024 - 2023 = 1$

nên $\sqrt {2024}  - \sqrt {2023}  = \frac{1}{{\sqrt {2024}  + \sqrt {2023} }}$.

+) $\left( {\sqrt {2023}  - \sqrt {2022} } \right)\left( {\sqrt {2023}  - \sqrt {2022} } \right) = 2023 - 2022 = 1$ nên $\sqrt {2023}  - \sqrt {2022}  = \frac{1}{{\sqrt {2023}  + \sqrt {2022} }}$.

Ta lại có: $\sqrt {2024}  > \sqrt {2022}$ suy ra $\sqrt {2024}  + \sqrt {2023}  > \sqrt {2022}  + \sqrt {2023}$,

do đó $\frac{1}{{\sqrt {2024}  + \sqrt {2023} }} < \frac{1}{{\sqrt {2023}  + \sqrt {2022} }}$

vậy $\sqrt {2024}  - \sqrt {2023}  < \sqrt {2023}  - \sqrt {2022}$.

b) Với $a > 0,b > 0,$ ta có ${\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} = a + b$ và ${\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {ab}$.

Do $a + b < a + b + 2\sqrt {ab}$ nên ${\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} < {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2}$.

Mặt khác ta lại có $\sqrt {a + b}  > 0$, $\sqrt a  + \sqrt b  > 0$ suy ra $\sqrt {a + b}  < \sqrt a  + \sqrt b$.