Giải bài 25 trang 18 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

SBT Toán 8 - Giải SBT Toán 8 - Cánh diều Bài 4. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức th


Giải bài 25 trang 18 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)

Đề bài

Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh \({x^5} - x \vdots 5\)

Ta có: \({x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Nếu \(x = 5k\) thì \(x \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^5} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 1\) thì \(x - 1 = 5k \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 2\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 2} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 3\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 3} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 4\) thì \(x + 1 = 5k + 5 \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Do đó \({x^5} - x \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x\)

Ta có: \({x^5} - x \vdots 5;15{x^2} \vdots 5;5 \vdots 5\) nên \({x^5} - 15{x^2} - x + 5 \vdots 5\) với mọi số nguyên\(x\).

Vậy \(B\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).


Cùng chủ đề:

Giải bài 24 trang 49 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Giải bài 24 trang 62 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 24 trang 67 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Giải bài 24 trang 79 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 24 trang 97 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 25 trang 18 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 25 trang 30 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Giải bài 25 trang 41 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 25 trang 49 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Giải bài 25 trang 62 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Giải bài 25 trang 68 sách bài tập toán 8 – Cánh diều