Giải bài 3. 38 trang 43 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho góc tù $\alpha$ có $\sin \alpha  = \frac{1}{3}.$

a) Tính $cos\alpha ,\,\,\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha .$

b) Tính giá trị của các biểu thức:

$\begin{array}{l}A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right).\\B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}.\end{array}$

Lời giải chi tiết

a) Vì ${90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }$ nên $\cos \alpha  < 0,\,\,\tan \alpha  < 0,\,\,\cot \alpha  < 0.$

Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\, \Rightarrow \,\,{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = \frac{8}{9}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \alpha  = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}.$

Suy ra: $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}$ và $\cot \alpha  =  - 2\sqrt 2$.

b) Ta có: $\cot ({180^o} - \alpha ) =  - \cot \alpha$, $\cot ({90^o} - \alpha ) = \tan \alpha$.

$A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right)$

$= \sin \alpha .\left( { - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right) + ( - \cos \alpha ).\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$

$\begin{array}{l}= \sin \alpha .\left( { - \cot \alpha } \right) + \left( { - \cos \alpha } \right).\tan \alpha \\=  - \cos \alpha  + \left( { - \sin \alpha } \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}.\end{array}$

$\begin{array}{l}B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}\\= \frac{{3\left( {\frac{1}{3} - \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) - 2}}{{\frac{1}{3} + \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{5}{3}}} =  - 3.\end{array}$