Giải bài 3. 35 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Tam giác $ABC$ có $\widehat A = {60^ \circ },\,\,AB = 3,\,\,BC = 3\sqrt 3 .$ Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ là:

A. $\frac{{3\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2}.$

B. $\frac{{3\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{2}.$

C. $\frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}.$

D. $\sqrt 3  - 1.$

Lời giải chi tiết

Độ dài đoạn thẳng $AC$ là:

$\begin{array}{l}\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{9 + A{C^2} - 27}}{{6AC}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {A{C^2} - 18} \right) = 6AC\\ \Leftrightarrow 2A{C^2} - 6AC - 36 = 0\\ \Leftrightarrow AC = 6.\end{array}$

Nửa chu vi $\Delta ABC$ là: $p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 6 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{2}$

Diện tích $\Delta ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.3.6\sin {60^ \circ } = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}.$

Bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là:

$r = \frac{S}{p} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}:\frac{{3\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{2} = \frac{3}{{\sqrt 3  + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2}$

Chọn A.