Giải bài 3 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y=2x+1x−3 trên nửa khoảng (3;4]; b) y=3x+72x−5 trên nửa khoảng [−5;52); c) y=3x+2x+1 trên đoạn [0;4].
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y=2x+1x−3 trên nửa khoảng (3;4];
b) y=3x+72x−5 trên nửa khoảng [−5;52);
c) y=3x+2x+1 trên đoạn [0;4].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]:
Bước 1. Tìm các điểm x1,x2,...,xn thuộc khoảng (a;b) mà tại đó f′(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính f(a);f(x1);f(x2);...;f(xn);f(b).
Bước 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: M=max[a;b]f(x),m=min[a;b]f(x).
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số y=f(x)=2x+1x−3 trên nửa khoảng (3;4].
Ta có: f′(x)=−7(x−3)2<0,∀x∈(3;4]
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng (3;4]:
Từ bảng biến thiên, ta thấy min(3;4]f(x)=f(4)=9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng (3;4].
b) Xét hàm số y=f(x)=3x+72x−5 trên nửa khoảng [−5;52).
Ta có: f′(x)=−29(2x−5)2<0,∀x∈[−5;52)
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [−5;52):
Từ bảng biến thiên, ta thấy max[−5;52)f(x)=f(52)=815, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng [−5;52).
c) Xét hàm số y=f(x)=3x+2x+1 trên đoạn [0;4].
Ta có: f′(x)=1(x+1)2>0,∀x∈[0;4]
f(0)=2;f(4)=145
Vậy max[0;4]f(x)=f(4)=145,min[0;4]f(x)=f(0)=2.