Giải bài 3 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 3}}$ trên nửa khoảng $\left( {3;4} \right]$;

b) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 7}}{{2{\rm{x}} - 5}}$ trên nửa khoảng $\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)$;

c) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 2}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 3}}$ trên nửa khoảng $\left( {3;4} \right]$.

Ta có: $f'\left( x \right) =  - \frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( {3;4} \right]$

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left( {3;4} \right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( {3;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = 9$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left( {3;4} \right]$.

b) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{3{\rm{x}} + 7}}{{2{\rm{x}} - 5}}$ trên nửa khoảng $\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)$.

Ta có: $f'\left( x \right) =  - \frac{{29}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 5} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)$

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{8}{{15}}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng $\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)$.

c) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{3{\rm{x}} + 2}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]$

$f\left( 0 \right) = 2;f\left( 4 \right) = \frac{{14}}{5}$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{14}}{5},\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2$.