Giải bài 3 trang 9 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm: a) (int {frac{{{{cos }^2}x}}{{1 - sin x}}dx} ); b) (int {left( {1 + 3{{sin }^2}frac{x}{2}} right)dx} ); c) (int {frac{{2{{cos }^3}x + 3}}{{{{cos }^2}x}}dx} ).
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx} \);
b) \(\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \);
c) \(\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng biến đổi lượng giác.
‒ Sử dụng công thức:
• \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
• \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
• \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\).
Lời giải chi tiết
a) \(\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx} = \int {\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}{{1 - \sin x}}dx} = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x - \cos x + C\).
b) \(\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {\left( {1 + 3.\frac{{1 - \cos x}}{2}} \right)dx} = \int {\left( {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)dx} = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}\sin x + C\).
c) \(\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = 2\sin x + 3\tan x + C\).