Giải bài 3 trang 9 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm:

a) $\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx}$;

b) $\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}$;

c) $\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx}$.

Lời giải chi tiết

a) $\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx}  = \int {\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx}  = \int {\frac{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}{{1 - \sin x}}dx}  = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx}  = x - \cos x + C$.

b) $\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}  = \int {\left( {1 + 3.\frac{{1 - \cos x}}{2}} \right)dx}  = \int {\left( {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)dx}  = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}\sin x + C$.

c) $\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}  = 2\sin x + 3\tan x + C$.