Giải bài 3 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}); b) (y = frac{{2{rm{x}} - 5}}{{3{rm{x}} + 1}}); c) (y = sqrt {4 - {x^2}} ); d) (y = x - ln {rm{x}}).

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}$;

b) $y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}$;

c) $y = \sqrt {4 - {x^2}} $;

d) $y = x - \ln {\rm{x}}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$:

Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ của hàm số. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in D$ mà tại đó đạo hàm $f'\left( x \right)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ theo thứ tự tăng dần, xét dấu $f'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}} < 0$.

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$. Hàm số không có cực trị.

b) Xét hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{17}}{{{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$ và $\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

c) Xét hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}} $.

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$.

Ta có $y' = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Bảng biến thiên: