Giải bài 3 trang 17 vở thực hành Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là tam giác đều cạnh a (cm) và chiều cao 10cm.

a) Tính diện tích đáy S của hình chóp theo a.

b) Từ kết quả câu a, tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi \(a = 4cm\).

c) Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi thế nào?

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore, ta tính được chiều cao của tam giác đều cạnh a là:

\({h_1} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\left( {cm} \right)\).

Diện tích đáy S của hình chóp là:

\(S = \frac{1}{2}a.{h_1} = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\).

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.10 = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}{a^2}\left( {c{m^3}} \right)\).

Thay a = 4 cm, ta được \(S = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}{4^2} = \frac{40\sqrt 3}{3} \left( {c{m^3}} \right)\).

c) Chiều cao mới của đáy là:

h _mới \( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} \)

\(= \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\).

Diện tích đáy mới là:

S _mới \( = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}\).S _cũ .

Suy ra V _mới \( = \frac{1}{3}\).S _mới .h\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}\).S _cũ .h\( = \frac{1}{4}\).V _cũ

Vậy nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp giảm đi 4 lần.