Giải bài 3 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có $DA \bot \left( {ABC} \right)$, ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ $AH \bot MD$ tại H.

a) Chứng minh rằng $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng $GK \bot \left( {ABC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $DA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \bot BC$

Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra: $BC \bot AM$

Vì $DA \bot BC$, $BC \bot AM$, DA và AM cắt nhau tại A và nằm trong (DAM) nên $BC \bot \left( {DAM} \right)$. Lại có, $AH \subset \left( {DAM} \right) \Rightarrow AH \bot BC$

Ta có: $AH \bot MD$, $AH \bot BC$, MD và BC cắt nhau tại M và nằm trong (BCD) nên $AH \bot \left( {BCD} \right)$

b) Tam giác DBC có K là trọng tâm và DM là đường trung tuyến nên $\frac{{DK}}{{DM}} = \frac{2}{3}$

Tam giác ABC có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến nên $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$

Tam giác ADM có: $\frac{{DK}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)$ nên KG//AD (định lí Thalès đảo)

Mà $DA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $GK \bot \left( {ABC} \right)$.