Giải bài 30 trang 70 sách bài tập toán 8 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $BC$, điểm $F$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $CE=AF$. Các đường thẳng $AE,BF$ cắt đường thẳng $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Các đường thẳng $NA,MB$ cắt nhau tại $K$.

a)      Chứng minh: $\Delta KAB\backsim \Delta KNM;\Delta CEM\backsim \Delta DAM;\Delta NFD\backsim \Delta NBC$.

b)     So sánh $CM.DN$ và $A{{B}^{2}}$.

c)      Các điểm $E,F$ lấy ở vị trí nào trên các cạnh $BC,AD$ thì $MN$ có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

a)      Vì $AB//MN$ nên $\Delta KAB\backsim \Delta KMN$.

Vì $CE//AD$ nên $\Delta CEM\backsim \Delta DAM$

Vì $DF//BC$ nên $\Delta NFD\backsim \Delta NBC$.

b)     Vì $\Delta CEM\backsim \Delta BEA$ nên $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}$ (1)

Vì $\Delta NDF\backsim \Delta BAF$ nên $\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}$ (2)

Từ (1) và (2) và $CE=AF,BE=DF$, ta có $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}$.

Do đó $CM.DN=A{{B}^{2}}$.

c)      Ta có ${{\left( CM-DN \right)}^{2}}\ge 0$, suy ra ${{\left( CM+DN \right)}^{2}}\ge 4CM.DN$ hay $CM+DN\ge 2\sqrt{CM.DN}=2AB$. Do đó $MN=DN+CD+CM\ge 3AB$ (vì $AB=CD$). Vậy $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $3AB$. Dấu “=” xảy ra khi $CM=DN=a$ hay $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$.