Giải bài 30 trang 81 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hàm số f(x)={x2−x(x≥1)x+a(x<1)
Đề bài
Cho hàm số f(x)={x2−x(x≥1)x+a(x<1)
a) Với a=2, xét tính liên tục của hàm số tại x=1.
b) Tìm a để hàm số liên tục trên R
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính lim và \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) trong trường hợp a = 2.
b) Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số phải liên tục tại x = 1. Suy ra \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right). Từ đó tìm được a.
Lời giải chi tiết
a) Với a = 2 ta có f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + 2{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right..
Xét \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = {1^2} - 1 = 0, \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3.
Do \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right), nên không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right). Do đó, hàm số không liên tục tại x = 1.
b) Với x < 1 thì f\left( x \right) = x + a là hàm đa thức nên f\left( x \right) liên tục trên \left( { - \infty ,1} \right).
Với x > 1 thì f\left( x \right) = {x^2} - x là hàm đa thức nên f\left( x \right) liên tục trên \left( {1, + \infty } \right).
Do đó, để f\left( x \right) liên tục trên \mathbb{R} thì f\left( x \right) phải liên tục tại x = 1.
Tức là \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)
Suy ra \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 0 \Rightarrow 1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1.