Giải bài 37 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 18 - \sqrt 3 t\\y = 11\\z = 5 + t\end{array} \right.$ (với $t$ là tham số) và $\left( P \right):x - \sqrt 3 y - z - 3 = 0$;

b) $\Delta :\frac{{x - 8}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{3}$ và $\left( P \right):3x - 4y + 5z - 6 = 0$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 1} \right)$.

Sin của góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng:

$\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .1 + 0.\left( { - \sqrt 3 } \right) + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15}  + \sqrt 5 }}{{10}}$.

Vậy $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {38^ \circ }$.

b) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 3;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3; - 4;5} \right)$.

Sin của góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng:

$\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.3 - 3.\left( { - 4} \right) + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{10}}$.

Vậy $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {84^ \circ }$.