Giải bài 38 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Cánh diều Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số


Giải bài 38 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Biết giá trị lớn nhất của hàm số (y = frac{{{{left( {ln x} right)}^2}}}{x}) trên đoạn (left[ {1;{e^3}} right]) là (M = frac{a}{{{e^b}}}), trong đó (a,b) là các số tự nhiên. Khi đó ({a^2} + 2{b^3}) bằng: A. 22. B. 24. C. 32. D. 135.

Đề bài

Biết giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right]\) là \(M = \frac{a}{{{e^b}}}\), trong đó \(a,b\) là các số tự nhiên. Khi đó \({a^2} + 2{b^3}\) bằng:

A. 22.

B. 24.

C. 32.

D. 135.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = \frac{{{{\left[ {{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \right]}^\prime }.x - {{\left( {\ln x} \right)}^2}.{{\left( x \right)}^\prime }}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{{2\ln {\rm{x}}}}{x}.x - {{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{2\ln {\rm{x}} - {{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\) hoặc \(x = {e^2}\).

\(y\left( 1 \right) = 0;y\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}};y\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{4}{{{e^2}}}\) tại \(x = {e^2}\).

Vậy \(a = 4,b = 2 \Leftrightarrow {a^2} + 2{b^3} = 32\).

Chọn C.


Cùng chủ đề:

Giải bài 36 trang 76 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 37 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 37 trang 21 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 37 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 37 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 38 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 38 trang 21 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 38 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 38 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 39 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 39 trang 21 sách bài tập toán 12 - Cánh diều