Giải bài 38 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{x}$ trên đoạn $\left[ {1;{e^3}} \right]$ là $M = \frac{a}{{{e^b}}}$, trong đó $a,b$ là các số tự nhiên. Khi đó ${a^2} + 2{b^3}$ bằng:

A. 22.

B. 24.

C. 32.

D. 135.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y' = \frac{{{{\left[ {{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \right]}^\prime }.x - {{\left( {\ln x} \right)}^2}.{{\left( x \right)}^\prime }}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{{2\ln {\rm{x}}}}{x}.x - {{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{2\ln {\rm{x}} - {{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{{{x^2}}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {1;{e^3}} \right]$, $y' = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = {e^2}$.

$y\left( 1 \right) = 0;y\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}};y\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{4}{{{e^2}}}$ tại $x = {e^2}$.

Vậy $a = 4,b = 2 \Leftrightarrow {a^2} + 2{b^3} = 32$.

Chọn C.